pcl把3dmesh 映射成2维_线性映射(Linear Maps)（3）

回顾：一组向量如何生成一个向量空间；一组线性独立的向量的定义。

一组向量如何生成一个向量空间：

一组线性独立的向量的定义

略。

目录：

• 线性映射(a Linear Map)的定义、例子
• 线性映射的相、kernel以及其性质
• 线性映射的秩的定义
• 线性映射是单射的充要条件；线性映射是满射的充要条件(Proposition 3.15.)
• Proposition 3.16.
• Proposition 3.17.
• 线性映射同构的定义
• Proposition 3.18.
• Hom(E; F)的定义
• 线性映射自同态的定义
• the general linear group的定义

线性映射是单射的充要条件；线性映射是满射的充要条件(Proposition 3.15.)

说明：对于任意两个向量空间E，F，且对于给定的向量空间E的任意一组基，以及向量空间F的一组给定的向量组，都存在唯一的一个线性映射，将向量空间E的基向量映射成向量空间F的向量。进一步，线性映射是单射的充要条件为映射到的向量空间F的这组向量是线性独立的；该线性映射是满射的充要条件是映射到F的这组向量生成F。

说明：定义了一个映射，将E中的任意向量

映射为

，要证这个映射即为线性映射，需要证满足线性性。

线性性：

说明：由线性映射为单射证F中的这组向量线性独立。由性质3.14，线性映射是单射的充要条件是ker f={0},当

，由ker f={0}得到

。而{

}是独立的，故得到所有的

。

说明：若线性映射f是满射，即对于向量空间F中的任意向量y,都存在E中的向量

，使得

,由定义

,即证F可以由

生成。

反之若向量组

生成F，即对于F中的任意向量y，都可以找到一组

，使得y可以表达为

，由线性映射的定义

,故

，又

是E的一组基，对于E中任意向量x，都可以表达为

，故接上式为

,即证对于F中的任意向量,都存在E中的向量x，使得y=f(x)，即证f为满射。

f是满射，显然v1,v2,v3向量组的秩为2，可以生成二维实数空间。

f不是单射，显然向量组v1,v2,v3并不是线性独立的。可以看到f(u1-u2)=f(2u3)。

说明：性质3.15表明，一个单射的线性映射f:

将E上的一组基}{

}映射为F中的一组线性独立的向量{

}。如果f是双射的话，那么{

}也是F的一组基。

另外，若E和F是维数相同的向量空间，且f:

是单射，则f将E中的一组基{

}映射为F中的一组基{

}。