pcl把3dmesh 映射成2維_線性映射(Linear Maps)（3）

回顧：一組向量如何生成一個向量空間；一組線性獨立的向量的定義。

一組向量如何生成一個向量空間：

一組線性獨立的向量的定義

略。

目錄：

• 線性映射(a Linear Map)的定義、例子
• 線性映射的相、kernel以及其性質
• 線性映射的秩的定義
• 線性映射是單射的充要條件；線性映射是滿射的充要條件(Proposition 3.15.)
• Proposition 3.16.
• Proposition 3.17.
• 線性映射同構的定義
• Proposition 3.18.
• Hom(E; F)的定義
• 線性映射自同态的定義
• the general linear group的定義

線性映射是單射的充要條件；線性映射是滿射的充要條件(Proposition 3.15.)

說明：對于任意兩個向量空間E，F，且對于給定的向量空間E的任意一組基，以及向量空間F的一組給定的向量組，都存在唯一的一個線性映射，将向量空間E的基向量映射成向量空間F的向量。進一步，線性映射是單射的充要條件為映射到的向量空間F的這組向量是線性獨立的；該線性映射是滿射的充要條件是映射到F的這組向量生成F。

說明：定義了一個映射，将E中的任意向量

映射為

，要證這個映射即為線性映射，需要證滿足線性性。

線性性：

說明：由線性映射為單射證F中的這組向量線性獨立。由性質3.14，線性映射是單射的充要條件是ker f={0},當

，由ker f={0}得到

。而{

}是獨立的，故得到所有的

。

說明：若線性映射f是滿射，即對于向量空間F中的任意向量y,都存在E中的向量

，使得

,由定義

,即證F可以由

生成。

反之若向量組

生成F，即對于F中的任意向量y，都可以找到一組

，使得y可以表達為

，由線性映射的定義

,故

，又

是E的一組基，對于E中任意向量x，都可以表達為

，故接上式為

,即證對于F中的任意向量,都存在E中的向量x，使得y=f(x)，即證f為滿射。

f是滿射，顯然v1,v2,v3向量組的秩為2，可以生成二維實數空間。

f不是單射，顯然向量組v1,v2,v3并不是線性獨立的。可以看到f(u1-u2)=f(2u3)。

說明：性質3.15表明，一個單射的線性映射f:

将E上的一組基}{

}映射為F中的一組線性獨立的向量{

}。如果f是雙射的話，那麼{

}也是F的一組基。

另外，若E和F是維數相同的向量空間，且f:

是單射，則f将E中的一組基{

}映射為F中的一組基{

}。