pcl把3dmesh 映射成2維_【百川小課堂】第2課—2D單應求解

第二課 2D單應求解

1. 問題描述與提出

2D單應就是給定

中的兩組點集

和

，計算把每一點

映射到

的射影變換，實際一般情況下，點

和

是兩幅圖像（或一張圖像）上的點。

在上一篇

2D射影幾何與變換

中我們提出了2D的射影矩陣

是

的矩陣，除去一個比例因子，是以有8個自由度，嚴格意義上來說需要4個不完全共線的點求解，這四個點求解出來的是精确解，稱為最小配置解。

但是因為點的測量是帶有噪聲的（不可能選取到完全對應的無偏差的對應點），是以一般情況下我們需要選取四組對應點或線面求取精确解，或者通過選取大于四組對應點或線，通過最小化代價函數來求解最優解。

2. 直接線性變換（DLT）算法求解精确解

的一種簡單線性方程是

，考慮到這是齊次矢量方程，我們利用

來推出射影變換的簡單線性解。

Explain:

其中矩陣

的第

行為

，

，上述方程可視為

的形式，其中

是

的矩陣，

是由矩陣

組成的

維矢量。

中是隻有 2 個 線性獨立的方程，是以 4 組對應點我們可以得到8組獨立方程求解

的 1維零空間。

Extend:

1. 零空間就是齊次線性方程組

   

   的全部解，維數是

   

   ，

   

   是未知元的個數，

   

   是

   

   的秩。

2. 

   中的第三行可由第一行和第二行線性加成，但是若選取的對應點中存在理想點即

   

   ，

   

   中的第一行和第二行将退化為單個方程。
3. 同樣可以用線或其他實體來求解，2D射影（8dof）變換需求4組點或4組線（每組點或線提供2個限制），3D射影變換（15dof）需要5組點或5組平面（每組點或線提供3個限制）。

3. 代價函數求取最優解

如果給定的對應點或者線大于4組，我們便需要利用最小化代價函數求超定解。

• 代數距離：代價函數就是求解最小化範數

  

  。
• 幾何距離：代價函數就是求解

  

  與

  

  和

  

  與

  

  的綜合誤差。
• 重投影誤差：代價函數就是求解

  

  與

  

  和

  

  與

  

  的綜合誤差。

Explain:

和

是估計的點，其中

完全對應。

4 疊代方法

• 求解線性問題時，采用最小二乘法（求導即可）。
• 求解非線性問題時，采用非線性最小二乘（牛頓法或者LM法，由雅可比矩陣組成的一階或二階梯度求解增量），這種方法把非線性問題轉化為了求增量時候隻需要求解線性問題。

5 随機一緻性（RANSAC）算法

在實際的情況中，存在一些誤差點，最小二乘方法會幹擾單應的生成。我們介紹RANSAC算法，它可以從一組包含“局外點”的觀測資料集中，通過疊代方式估計數學模型的參數。它是一種不确定的算法——它有一定的機率得出一個合理的結果；為了提高機率必須提高疊代次數。

RANSAC比最小二乘的優勢在于，它能去除一些噪聲的幹擾, 如果假定模型與實際的情形一緻, 那麼一般由觀測資料計算的RANSAC模型, 更能接近實際情況, 去除觀測或過程噪聲幹擾。

Example:

對于

，

RANSAC的線性拟合算法步驟大緻如下：

while 最大嘗試次數

從觀測點集中随機取兩點，計算出直線的參數k, t（或者k用向量表示），得出一個候選的直線模型。

計算候選直線與整個點集的比對程度，可以采用統計在直線上（或到直線的距離小于一個門檻值）的點的個數。

保留比對程度最好的直線的參數。

如果本次嘗試比對點的個數占整個點集大部分，超出預期（門檻值），提前結束嘗試。

endwhile

RANSAC的誤差一般用在拟合直線的一個範圍内，在此範圍内點的個數占整個點集比例來衡量。

參考資料： https:// blog.csdn.net/viewcode/ article/details/7828178