第二课 2D单应求解
1. 问题描述与提出
2D单应就是给定
中的两组点集
和
，计算把每一点
映射到
的射影变换，实际一般情况下，点
和
是两幅图像（或一张图像）上的点。
在上一篇
2D射影几何与变换中我们提出了2D的射影矩阵
是
的矩阵，除去一个比例因子，所以有8个自由度，严格意义上来说需要4个不完全共线的点求解，这四个点求解出来的是精确解，称为最小配置解。
但是因为点的测量是带有噪声的（不可能选取到完全对应的无偏差的对应点），所以一般情况下我们需要选取四组对应点或线面求取精确解，或者通过选取大于四组对应点或线，通过最小化代价函数来求解最优解。
2. 直接线性变换（DLT）算法求解精确解
的一种简单线性方程是
，考虑到这是齐次矢量方程，我们利用
来推出射影变换的简单线性解。
Explain:
其中矩阵
的第pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 行为pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 ，pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 ，上述方程可视为pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 的形式，其中pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 是pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 的矩阵，pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 是由矩阵pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 组成的pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 维矢量。pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 中是只有 2 个 线性独立的方程，所以 4 组对应点我们可以得到8组独立方程求解pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 的 1维零空间。
Extend:
- 零空间就是齐次线性方程组 的全部解，维数是
pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 ， pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 是未知元的个数， pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 是 pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 的秩。 pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 - 中的第三行可由第一行和第二行线性加成，但是若选取的对应点中存在理想点即
pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 ， pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 中的第一行和第二行将退化为单个方程。 pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 - 同样可以用线或其他实体来求解，2D射影（8dof）变换需求4组点或4组线（每组点或线提供2个约束），3D射影变换（15dof）需要5组点或5组平面（每组点或线提供3个约束）。
3. 代价函数求取最优解
如果给定的对应点或者线大于4组，我们便需要利用最小化代价函数求超定解。
- 代数距离：代价函数就是求解最小化范数 。
pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 - 几何距离：代价函数就是求解 与
pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 和 pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 与 pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 的综合误差。 pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 - 重投影误差：代价函数就是求解 与
pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 和 pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 与 pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 的综合误差。 pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解
Explain:和pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 是估计的点，其中pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 完全对应。pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解
4 迭代方法
- 求解线性问题时，采用最小二乘法（求导即可）。
- 求解非线性问题时，采用非线性最小二乘（牛顿法或者LM法，由雅可比矩阵组成的一阶或二阶梯度求解增量），这种方法把非线性问题转化为了求增量时候只需要求解线性问题。
5 随机一致性（RANSAC）算法
在实际的情况中，存在一些误差点，最小二乘方法会干扰单应的生成。我们介绍RANSAC算法，它可以从一组包含“局外点”的观测数据集中，通过迭代方式估计数学模型的参数。它是一种不确定的算法——它有一定的概率得出一个合理的结果；为了提高概率必须提高迭代次数。
RANSAC比最小二乘的优势在于，它能去除一些噪声的干扰, 如果假定模型与实际的情形一致, 那么一般由观测数据计算的RANSAC模型, 更能接近实际情况, 去除观测或过程噪声干扰。
Example:
对于
pcl把3dmesh 映射成2维_【百川小课堂】第2课—2D单应求解 ，
RANSAC的线性拟合算法步骤大致如下：
while 最大尝试次数
从观测点集中随机取两点，计算出直线的参数k, t（或者k用向量表示），得出一个候选的直线模型。
计算候选直线与整个点集的匹配程度，可以采用统计在直线上（或到直线的距离小于一个阈值）的点的个数。
保留匹配程度最好的直线的参数。
如果本次尝试匹配点的个数占整个点集大部分，超出预期（阈值），提前结束尝试。
endwhile
RANSAC的误差一般用在拟合直线的一个范围内，在此范围内点的个数占整个点集比例来衡量。
参考资料： https:// blog.csdn.net/viewcode/ article/details/7828178