漫步数学分析二十三——级数的积分与微分

对于一致收敛的序列或级数，我们也有关于极限函数积分与微分的陈述，需要回答的问题是是否这些运算可以逐项执行。对于积分过程，答案是肯定的，下面的定理会介绍，而积分的一般定义会在后面给出，但是对于单变量连续实值函数，我们从基本微积分中已经知道了积分与微分的基本性质。

定理4 假设 fk:[a,b]→R 是连续函数( a,b∈R )并且 fk→f (一致)，那么

∫bafk(x)dx→∫baf(x)dx

推论2 假设 gk:[a,b]→R 是连续的且 Σ∞k=1gk 是一致收敛的，那么我们可以改变积分与和的次序

∫ba∑k=1∞gk(x)dx=∑k=1∞∫bagk(x)dx

将定理4应用到部分和的极限上可以很容易的得出这个推论。

直观上，定理应该十分清楚，因为如果 fk 非常接近 f ，那么它的积分应该接近f的积分，但是这里需要小心，如果 fk 只是逐点收敛，那么这个结论就不成立！(看例1)

注意：实际上，有一个比上面定理更加广泛的定理，也就是Lebesgue控制收敛定理。这个结论的一个版本说明如果 fk 逐点收敛到 f 并且fk一致有界(即，对于所有的 k=1,2,…,x∈[a,b],|fk(x)|≤M )，那么定理4的结论依然有效。

对于导数我们也可以这样吗？对于一致收敛序列或级数的逐项可微问题，这个回答是否定的，可参看上篇文章的例3。这个结果提醒我们，当将直观上合理的命题变成事实时需要谨慎，因此除了一致收敛，我们还需要更多的假设，充分条件由下面的定理给出。

定理5 令 fk:(a,b)→R 是开集 (a,b) 上的可微函数序列，且逐点收敛到 f:(a,b)→R 。假设导数 f′k 是连续的且一致收敛到函数 g ，那么f是可微的且 f′=g 。

推论3 如果 gk 是可微的，那么 g′k 是连续的， Σ∞k=1gk 逐点收敛且如果 Σ∞k=1g′k 一致收敛，那么

(∑k=1∞gk)′=∑k=1∞g′k

将定理应用到部分和序列就能得出上面的推论。

例1： 给出一个序列 fk:[0,1]→R 的例子，要求其逐点收敛到零，但是 ∫10fk 不收敛到零。

图1

解： 令 fk 的图像如图1所示，那么， fk 满足对于所有 k=1,2,3,…,∫10fk=1 。进一步，对于每个 x 当k→∞时 fk(x)→0 (当 x=0 时很明显，当 x>0 时，只要 k>1/x ，那么 fk(x)=0 )。

例2： 令 gn(x)=nx/(1+nx),0≤x≤1 ，验证定理5。

解： x≠0 我们可以看出当 n→∞,gn(x)→1 ，因为 gn(x)=x/(x+1/n) 。但是对于 x=0,gn(x)=0 ，所以 gn 是逐点而不是一致收敛。该函数只在区间 [δ,1],δ>0 上是一致收敛的。

该函数的导数是 g′n(x)=(1/n)/(x+1/n)2 ，在区间 [δ,1] 上一致收敛到 →0 但是 g′n(0)→∞ ，所以定理5的条件只在区间 [δ,1],δ>0 上满足，极限函数在 x=0 处不可微。

例3： 用 ex=Σ∞0xn/n! 与定理4验证 ∫x0etdt=ex−1 。

解： 根据魏尔斯特拉斯M测试， ex=Σ∞0xn/n! 在任意有限区间都一致收敛，所以根据推论2并应用到区间 [0,x] 上可得

∫x0etdt=∑0∞∫x0tnn!dt=∑0∞tn+1(n+1)!|x0=x1!+x22!+⋯=ex−1