数理统计与数据分析第三版习题 第3章 第8题

题目

若 X X X和 Y Y Y具有联合密度

f ( x , y ) = 6 7 ( x + y ) 2 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 f(x,y)=\frac67(x+y)^2,0\leq x\leq 1 ,0\leq y\leq 1 f(x,y)=76​(x+y)2,0≤x≤1,0≤y≤1

a.利用合适的区域上的积分，计算 ( i ) P ( X > Y ) , ( i i ) P ( X + Y ≤ 1 ) , ( i i i ) P ( X ≤ 1 2 ) (i)P(X>Y),(ii) P(X+Y\leq1),(iii)P(X\leq\frac12) (i)P(X>Y),(ii)P(X+Y≤1),(iii)P(X≤21​)

b.计算 x x x和 y y y边际密度.

c.计算这两个变量的条件密度.

解题思路

a.利用合适的区域上的积分，计算 ( i ) P ( X > Y ) , ( i i ) P ( X + Y ≤ 1 ) , ( i i i ) P ( X ≤ 1 2 ) (i)P(X>Y),(ii) P(X+Y\leq1),(iii)P(X\leq\frac12) (i)P(X>Y),(ii)P(X+Y≤1),(iii)P(X≤21​)

( i ) (i) (i)

P ( X > Y ) = ∫ 0 1 ∫ 0 x 6 7 ( x + y ) 2 d y d x = 1 2 \begin{aligned} P(X>Y)&=\int_0^1\int_0^x \frac67(x+y)^2 dydx=\frac12 \end{aligned} P(X>Y)​=∫01​∫0x​76​(x+y)2dydx=21​​

( i i ) (ii) (ii)

P ( X + Y ≤ 1 ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x 6 7 ( x + y ) 2 d y d x = 3 14 \begin{aligned} P(X+Y\leq1)&=\int_0^1\int_0^{1-x} \frac67(x+y)^2 dydx=\frac3{14} \end{aligned} P(X+Y≤1)​=∫01​∫01−x​76​(x+y)2dydx=143​​

( i i i ) (iii) (iii)

P ( X ≤ 1 2 ) = ∫ 0 1 2 ∫ 0 1 6 7 ( x + y ) 2 d y d x = 2 7 \begin{aligned} P(X\leq\frac12)&=\int_0^{\frac12}\int_0^{1} \frac67(x+y)^2 dydx=\frac27 \end{aligned} P(X≤21​)​=∫021​​∫01​76​(x+y)2dydx=72​​

b.计算 x x x和 y y y边际密度.

f X ( x ) = ∫ 0 1 6 7 ( x + y ) 2 d y = 6 7 x 2 + 6 7 x + 2 7 f_X(x)=\int_0^1\frac67(x+y)^2 dy=\frac67x^2+\frac67x+\frac27 fX​(x)=∫01​76​(x+y)2dy=76​x2+76​x+72​

f Y ( y ) = ∫ 0 1 6 7 ( x + y ) 2 d x = 6 7 y 2 + 6 7 y + 2 7 f_Y(y)=\int_0^1\frac67(x+y)^2 dx=\frac67y^2+\frac67y+\frac27 fY​(y)=∫01​76​(x+y)2dx=76​y2+76​y+72​

c.计算这两个变量的条件密度.

f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f ( y ) = ( x + y ) 2 y 2 + y + 1 3 f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f(y)}=\frac{(x+y)^2}{y^2+y+\frac13} fX∣Y​(x∣y)=f(y)f(x,y)​=y2+y+31​(x+y)2​

f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f ( x ) = ( x + y ) 2 x 2 + x + 1 3 f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f(x)}=\frac{(x+y)^2}{x^2+x+\frac13} fY∣X​(y∣x)=f(x)f(x,y)​=x2+x+31​(x+y)2​