微分几何笔记(4) —— 二维三维空间中曲线的曲率以及环绕数

本篇文章我们从一般化的 R n \mathbb{R}^n Rn 空间回到我们生活的 R 2 , R 3 \mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3 R2,R3空间，看看低维空间中的曲线有哪些性质，主要计算下在非弧长参数下的曲线，曲率挠率的一般表达式。

最后引入环绕数的概念，讲讲怎么数曲线转了多少圈。

4.1 二维空间中的曲线

二维空间中的曲线(plane curves)的Frenet运动方程：

d d t ( e 1 ( t ) e 2 ( t ) ) = ( 0 ω ( t ) − ω ( t ) 0 ) ⋅ ( e 1 ( t ) e 2 ( t ) ) \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} e_1(t)\\ e_2(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&\omega (t)\\ -\omega (t)& 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} e_1(t)\\e_2(t) \end{pmatrix} dtd​(e1​(t)e2​(t)​)=(0−ω(t)​ω(t)0​)⋅(e1​(t)e2​(t)​)

这里 ω ( t ) = ω 1 , 2 ( t ) = e 1 ′ ( t ) ⋅ e 2 ( t ) \omega (t)=\omega_{1,2}(t) =e_1'(t)\cdot e_2(t) ω(t)=ω1,2​(t)=e1′​(t)⋅e2​(t) ，曲率 κ ( t ) ≜ ω ( t ) ∣ c ′ ( t ) ∣ \kappa(t)\triangleq \frac{\omega (t)}{|c'(t)|} κ(t)≜∣c′(t)∣ω(t)​，详细的定义写在之前一篇笔记中。

进一步，在弧长参数下有 c ′ ′ ( s ) = e 1 ′ ( s ) = ω ( s ) e 2 ( s ) = κ ( s ) e 2 ( s ) c''(s)=e'_1(s)=\omega(s)e_2(s)=\kappa(s)e_2(s) c′′(s)=e1′​(s)=ω(s)e2​(s)=κ(s)e2​(s) 所以有 ∣ c ′ ′ ( s ) ∣ = ∣ κ ( s ) ∣ |c''(s)|=|\kappa(s)| ∣c′′(s)∣=∣κ(s)∣

这里我们可以看到平面曲线曲率正负的意义：

首先最主要的一点是，因为在每一点曲率是一个数而已，这说明曲线二阶导的方向，与 e 2 ( s ) e_2(s) e2​(s)的方向相同或者相反，总之他们在一条直线上！

（我写完之后几天又绕回了这个问题，发现这是相当本质的一个结论， n n n维欧式空间中，非退化的曲线，自身前 n n n 阶导数就是正交的！）

因为二阶导数的正负，决定了曲线的凹凸性，二阶导大于0，曲线下凸；二阶导小于0，曲线上凸；二阶导等于0，曲线没有凸性。

再结合由Frenet标架自身性质所决定的， e 1 ( s ) e_1(s) e1​(s)为曲线的切线方向， e 2 ( s ) e_2(s) e2​(s)由 e 1 ( s ) e_1(s) e1​(s)逆时针旋转 9 0 ∘ 90^{\circ} 90∘ 得到（为了和 R 2 \mathbb{R}^2 R2空间中的基底保持相同定向。）所以我们知道， κ ( s ) > 0 \kappa (s)>0 κ(s)>0 表示 e 2 ( s ) e_2(s) e2​(s)与曲线弯曲方向相同，反之，则相反；若 κ ( s ) = 0 \kappa(s)=0 κ(s)=0自然表示曲线在这一点处不弯曲。（不同的参数 s s s 或者 t t t 并不改变上述向量的方向，只是在大小上相差个常数倍。）

接下来，我们来算一算，如果不对曲线进行弧长参数化，用最原本的参数，曲率的表达式是怎样的：

Proposition 4.1.1   c : I → R 2 c:I\rightarrow \mathbb{R}^2 c:I→R2 为一条满足Frenet条件的参数化平面曲线，则其曲率 κ ( t ) = det ( c ′ ( t ) , c ′ ′ ( t ) ) ∣ c ′ ( t ) ∣ 3 \kappa(t)=\frac{\text{det}(c'(t),c''(t))}{|c'(t)|^3} κ(t)=∣c′(t)∣3det(c′(t),c′′(t))​

Proof:

对任意参数曲线，都可以写成 c = c ~ ∘ ϕ c = \tilde{c} \circ \phi c=c~∘ϕ的形式，这里 s = ϕ ( t ) = ∫ x 0 t ∣ c ′ ( τ ) ∣ d τ , ∴ ϕ ′ = ∣ c ′ ( t ) ∣ s=\phi (t)= \int^t_{x_0}|c'(\tau)|d\tau,\therefore \phi'=|c'(t)| s=ϕ(t)=∫x0​t​∣c′(τ)∣dτ,∴ϕ′=∣c′(t)∣（证明写在笔记(2)中的命题2.2.5）

那么

c ′ ( t ) = ϕ ′ ( c ~ ′ ∘ ϕ ) , c ′ ′ ( t ) = ϕ ′ ′ ( c ~ ′ ∘ ϕ ) + ( ϕ ′ ) 2 ( c ~ ′ ′ ∘ ϕ ) c'(t)=\phi'(\tilde{c}' \circ \phi), c''(t)=\phi''(\tilde{c}' \circ \phi)+(\phi')^2(\tilde{c}'' \circ \phi) c′(t)=ϕ′(c~′∘ϕ),c′′(t)=ϕ′′(c~′∘ϕ)+(ϕ′)2(c~′′∘ϕ)

注意这里 c ~ ′ ∘ ϕ = c ~ ′ ( s ) = e ~ 1 , c ~ ′ ′ ∘ ϕ = c ~ ′ ′ ( s ) = κ ~ ( s ) e ~ 2 ( s ) \tilde{c}' \circ \phi=\tilde{c}'(s)=\tilde{e}_1, \tilde{c}'' \circ \phi=\tilde{c}''(s)=\tilde{\kappa}(s)\tilde{e}_2(s) c~′∘ϕ=c~′(s)=e~1​,c~′′∘ϕ=c~′′(s)=κ~(s)e~2​(s)

写成矩阵的形式：

( c ′ ( t ) c ′ ′ ( t ) ) = ( ϕ ′ 0 ϕ ′ ′ ϕ ′ 2 ) ( 1 0 0 κ ~ ) ( e ~ 1 ( t ) e ~ 2 ( t ) ) \begin{pmatrix} c'(t)\\ c''(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \phi'& 0\\ \phi''& \phi^{'2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&\tilde{\kappa} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde{e}_1(t)\\ \tilde{e}_2(t) \end{pmatrix} (c′(t)c′′(t)​)=(ϕ′ϕ′′​0ϕ′2​)(10​0κ~​)(e~1​(t)e~2​(t)​)由于曲率在参数变换下不变，上式两边取行列式便得到了结果。

事实上，曲线为平面圆周，当且仅当曲率恒为非零常数；当曲率恒为零时，对应的曲线退化为一条直线。

4.2 三维空间中的曲线

类似的，我们可以计算一般非弧长参数曲线的曲率。在三维空间中，“曲率”含有两部分，曲率 κ ( t ) \kappa (t) κ(t) 和挠率 τ ( t ) \tau(t) τ(t)，分别计算下：

Proposition 4.2.1   c : I → R 3 c:I\rightarrow \mathbb{R}^3 c:I→R3 为一条满足Frenet条件的参数化空间曲线，则其曲率 κ ( t ) = ∣ c ′ ( t ) × c ′ ′ ( t ) ∣ ∣ c ′ ( t ) ∣ 3 \kappa(t)=\frac{|c'(t)\times c''(t)|}{|c'(t)|^3} κ(t)=∣c′(t)∣3∣c′(t)×c′′(t)∣​, τ ( t ) = det ( c ′ ( t ) , c ′ ′ ( t ) , c ′ ′ ′ ( t ) ) ∣ c ′ ( t ) × c ′ ′ ( t ) ∣ 2 \tau(t)=\frac{\text{det}(c'(t),c''(t),c'''(t))}{|c'(t)\times c''(t)|^2} τ(t)=∣c′(t)×c′′(t)∣2det(c′(t),c′′(t),c′′′(t))​.

Proof:

与二维情况类似，将曲线写为 c = c ~ ∘ ϕ c = \tilde{c} \circ \phi c=c~∘ϕ，然后求导，写成矩阵形式：

( c ′ ( t ) c ′ ′ ( t ) c ′ ′ ′ ( t ) ) = ( ϕ ′ ϕ ′ ′ ϕ ′ 2 ϕ ′ ′ ′ 3 ϕ ′ ϕ ′ ′ ( ϕ ′ ) 3 ) ( 1 0 κ ~ ( s ) − κ ~ 2 ( s ) κ ~ ′ ( s ) κ ~ ( s ) τ ~ ( s ) ) ( e ~ 1 ( t ) e ~ 2 ( t ) e ~ 3 ( t ) ) \begin{pmatrix} c'(t)\\ c''(t)\\c'''(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \phi'&&\\ \phi''& \phi^{'2}&\\ \phi'''& 3\phi' \phi''& (\phi')^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& &\\ 0&\tilde{\kappa}(s)&\\ -\tilde{\kappa}^2(s) & \tilde{\kappa}'(s) &\tilde{\kappa}(s) \tilde{\tau}(s) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde{e}_1(t)\\ \tilde{e}_2(t)\\ \tilde{e}_3(t) \end{pmatrix} ⎝⎛​c′(t)c′′(t)c′′′(t)​⎠⎞​=⎝⎛​ϕ′ϕ′′ϕ′′′​ϕ′23ϕ′ϕ′′​(ϕ′)3​⎠⎞​⎝⎛​10−κ~2(s)​κ~(s)κ~′(s)​κ~(s)τ~(s)​⎠⎞​⎝⎛​e~1​(t)e~2​(t)e~3​(t)​⎠⎞​

先计算曲率 κ ( t ) \kappa(t) κ(t)： c ′ ( t ) × c ′ ′ ( t ) = ϕ ′ ( t ) e ~ 1 ( s ) × ( ϕ ′ ′ e ~ 1 ( s ) + ( ϕ ′ ) 2 κ ~ ( s ) e ~ 2 ( s ) ) = ∣ c ′ ( t ) ∣ 3 k ~ ( s ) e ~ 3 ( s ) c'(t)\times c''(t)=\phi'(t)\tilde{e}_1(s)\times (\phi'' \tilde{e}_1(s)+(\phi')^2\tilde{\kappa}(s)\tilde{e}_2(s))=|c'(t)|^3\tilde{k}(s)\tilde{e}_3(s) c′(t)×c′′(t)=ϕ′(t)e~1​(s)×(ϕ′′e~1​(s)+(ϕ′)2κ~(s)e~2​(s))=∣c′(t)∣3k~(s)e~3​(s)

由曲率的参数变换不变性， κ ( t ) = ∣ c ′ ( t ) × c ′ ′ ( t ) ∣ ∣ c ′ ( t ) ∣ 3 \kappa(t)=\frac{|c'(t)\times c''(t)|}{|c'(t)|^3} κ(t)=∣c′(t)∣3∣c′(t)×c′′(t)∣​.

再在上面矩阵两边取行列式，就得到： τ ( t ) = det ( c ′ ( t ) , c ′ ′ ( t ) , c ′ ′ ′ ( t ) ) ∣ c ′ ( t ) × c ′ ′ ( t ) ∣ 2 \tau(t)=\frac{\text{det}(c'(t),c''(t),c'''(t))}{|c'(t)\times c''(t)|^2} τ(t)=∣c′(t)×c′′(t)∣2det(c′(t),c′′(t),c′′′(t))​

空间曲线由曲率和挠率唯一决定，假若二者均为常数（注意在空间中，曲率 κ > 0 \kappa>0 κ>0）：

1.当 τ ≠ 0 \tau \neq 0 τ​=0时，曲线为螺旋线(Helix)；

2.当 τ \tau τ恒为非零常数时，曲线退化为平面圆周。

证明也很简单，一方面螺旋线的曲率挠率恒为常数；另一方面，任意恒为常数的曲率挠率，总可以写成螺旋线所对应的形式。

接下来我们再来看一看Frenet标架，是如何唯一决定曲线的.

我们试图对一条弧长参数化曲线进行泰勒展开来做，这就涉及到用Frenet标架来表示曲线的导数，这个也好办，上方矩阵形式的最后两个矩阵就是我们要的：

( c ′ ( s ) c ′ ′ ( s ) c ′ ′ ′ ( s ) ) = ( 1 0 κ ( s ) − κ 2 ( s ) κ ′ ( s ) κ ( s ) τ ( s ) ) ( e 1 ( s ) e 2 ( s ) e 3 ( s ) ) \begin{pmatrix} c'(s)\\ c''(s)\\c'''(s) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1& &\\ 0&\kappa(s)&\\ -\kappa^2(s) & \kappa'(s) &\kappa(s) \tau(s) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1(s)\\ e_2(s)\\ e_3(s) \end{pmatrix} ⎝⎛​c′(s)c′′(s)c′′′(s)​⎠⎞​=⎝⎛​10−κ2(s)​κ(s)κ′(s)​κ(s)τ(s)​⎠⎞​⎝⎛​e1​(s)e2​(s)e3​(s)​⎠⎞​

我们现在可以用泰勒公式了：

c ( s 0 + s ) ≈ c ( s 0 ) + s c ′ ( s 0 ) + s 2 2 c ′ ′ ( s 0 ) + s 3 6 c ′ ′ ′ ( s 0 ) = c ( s 0 ) + ( s − κ 2 6 s 3 ) e 1 + ( κ 2 s 2 + κ ′ 6 s 3 ) e 2 + κ τ 6 s 3 e 3 \begin{aligned} c(s_0+s)&\approx c(s_0)+sc'(s_0)+\frac{s^2}{2}c''(s_0)+\frac{s^3}{6}c'''(s_0)\\ &=c(s_0)+(s-\frac{\kappa^2}{6}s^3)e_1+(\frac{\kappa}{2}s^2+\frac{\kappa'}{6}s^3)e_2+\frac{\kappa \tau}{6}s^3e_3\\ \end{aligned} c(s0​+s)​≈c(s0​)+sc′(s0​)+2s2​c′′(s0​)+6s3​c′′′(s0​)=c(s0​)+(s−6κ2​s3)e1​+(2κ​s2+6κ′​s3)e2​+6κτ​s3e3​​

因为 s s s 是小量，其高阶可以扔掉，所以在 e 1 − e 2 e_1-e_2 e1​−e2​ 平面上，曲线的改变近似为 ( s , κ 2 s 2 ) (s,\frac{\kappa}{2}s^2) (s,2κ​s2);

在 e 1 − e 3 e_1-e_3 e1​−e3​ 平面上，曲线的改变近似为 ( s , κ τ 6 s 3 ) (s,\frac{\kappa \tau}{6}s^3) (s,6κτ​s3);

在 e 2 − e 3 e_2-e_3 e2​−e3​ 平面上，曲线的改变近似为 ( κ 2 s 2 , κ τ 6 s 3 ) (\frac{\kappa}{2}s^2,\frac{\kappa \tau}{6}s^3) (2κ​s2,6κτ​s3).

这里刚好说到第三个曲线，被成为Neil抛物线，其特点是在尖点(cusp)处连续可导，当然在这里他就不满足函数的定义了。

将他们画在三维坐标系中：

（图来自 UTM Calculus and Analysis in Euclidean Space p402）

这里 T T T是Tangent vector的简写，对应 e 1 e_1 e1​;

N N N 是Normal vector，对应 e 2 e_2 e2​;

B B B 是Binormal vector，对应 e 3 e_3 e3​.

4.3 环绕数定理

这个是平面曲线的全局性质(Global Theory)，之前讲的标架，曲率都是对曲线的局部而言，那么对全局我们可以先考虑，比方说，曲线转了多少圈。

这一章在Klingenberg的书中语言叙述还是挺繁琐的，直观理解就好。

先说下什么是闭曲线：

用好理解的说法，这条曲线具有周期性，且处处都是光滑的(特别是在相同两部分连接的地方)。在傅里叶分析里我们还会见到他，圆上的曲线。

简单就是一一映射的意思。

所以简单闭曲线就是一条光滑周期参数曲线，且在每个周期上，都是一一映射的。

接下来是环绕数的概念：

在平面上一个光滑参数曲线的切向量是会随着曲线的方向转的，取定一个固定的坐标系，把切向量和 x x x-坐标轴的夹角定义为 θ ( t ) \theta(t) θ(t) ，其中 t t t 为曲线的参数，那么显然这个 θ ( t ) \theta(t) θ(t) 除了在 π \pi π 和 2 π 2\pi 2π 这两个零界点附近都是光滑的。

拿圆举例子，在起始位置，它的切向量和x轴夹角为 π 2 \frac{\pi}{2} 2π​，继续逆时针前进，到它的正上方时，夹角为 π \pi π，快到正下方，却还没到时，夹角接近 2 π 2\pi 2π ，当到了正下方后，与 x x x-轴夹角从新从0算起。

所以我们总可以通过给夹角加一个 2 π 2\pi 2π的整数倍，使得这个夹角函数 θ ( t ) \theta(t) θ(t)是连续且可导的，比方说刚说的例子，本来过了圆周的正下方，夹角重新回到0，我们只要对他加 2 π 2\pi 2π，使得夹角变成 2 π + θ 2\pi+\theta 2π+θ，变成全局的连续可导函数即可。

环绕数，对光滑参数曲线，定义为在曲线的两个端点 [ a , b ] [a,b] [a,b]的角度之差再除 2 π 2\pi 2π： n c = θ ( b ) − θ ( a ) 2 π n_c=\frac{\theta(b)-\theta(a)}{2\pi} nc​=2πθ(b)−θ(a)​.

比方说对单位圆周 c = ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ) , θ ∈ [ 0 , 2 π ] c=(\cos \theta,\sin \theta), \theta\in[0,2\pi] c=(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π]的环绕数，按定义为1；

单位圆周 c = ( cos ⁡ 2 θ , sin ⁡ 2 θ ) , θ ∈ [ 0 , 2 π ] c=(\cos2 \theta,\sin 2\theta), \theta\in[0,2\pi] c=(cos2θ,sin2θ),θ∈[0,2π]的环绕数，按定义为2；

单位圆周 c = ( cos ⁡ ( − θ ) , sin ⁡ ( − θ ) ) , θ ∈ [ 0 , 2 π ] c=(\cos{(- \theta)},\sin{(- \theta)}), \theta\in[0,2\pi] c=(cos(−θ),sin(−θ)),θ∈[0,2π]的环绕数，按定义为-1.

更进一步，对于分段光滑的参数曲线，定义一个外角(exterior angle)，记为 α i \alpha_i αi​，表示对于一个分段光滑节点 a i a_i ai​ 左右两端点角度的差值：即从 c ′ ( a i − ) c'(a_i^-) c′(ai−​)到 c ′ ( a i + ) c'(a_i^+) c′(ai+​)的角度差值，规定逆时针为正，顺时针为负， − π < α i < π -\pi<\alpha_i<\pi −π<αi​<π.

所以对分段光滑参数曲线的环绕数就定义为： n c = 1 2 π ∑ i ( θ i ( b i ) − θ i ( a i ) ) + 1 2 π ∑ i α i . n_c=\frac{1}{2\pi}\sum_i(\theta_i(b_i)-\theta_i(a_i))+\frac{1}{2\pi}\sum_i\alpha_i. nc​=2π1​i∑​(θi​(bi​)−θi​(ai​))+2π1​i∑​αi​.

这里的 a i , b i a_i,b_i ai​,bi​表示分段光滑区间的端点。

接下来是看起来很显然，但很有用的环绕数定理(Umlaufsatz)，这是他的德语名字。

Theorem 4.3.1 假设 c : I → R n c:I\rightarrow \mathbb{R}^n c:I→Rn是一条分段光滑的，正则的简单闭曲线，则它的环绕数 n c = ± 1. n_c=\pm1. nc​=±1.

这里的简单闭曲线其实可以很复杂：

比如简单光滑曲线可以不简单：

再比如简单分断光滑曲线可以相当复杂：

但他们的环绕数其实都是 1 1 1或者 − 1 -1 −1，即绕着走到起点，其实都只绕了一圈。

参考：

[1]W. Klingenberg.   A course in differential geometry.   Translated from the German by David Hoffman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 51. Springer-Verlag, 1978.

[2]J. Shurman.   Calculus and Analysis in Euclidean Space   Undergraduate Texts in Mathematics,Springer-Verlag, 2016.

[3]厦门大学杨波老师的讲义：http://math.xmu.edu.cn/group/ga/dg_files/surface_notes.pdf