微分幾何筆記(4) —— 二維三維空間中曲線的曲率以及環繞數

本篇文章我們從一般化的 R n \mathbb{R}^n Rn 空間回到我們生活的 R 2 , R 3 \mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3 R2,R3空間，看看低維空間中的曲線有哪些性質，主要計算下在非弧長參數下的曲線，曲率撓率的一般表達式。

最後引入環繞數的概念，講講怎麼數曲線轉了多少圈。

4.1 二維空間中的曲線

二維空間中的曲線(plane curves)的Frenet運動方程：

d d t ( e 1 ( t ) e 2 ( t ) ) = ( 0 ω ( t ) − ω ( t ) 0 ) ⋅ ( e 1 ( t ) e 2 ( t ) ) \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} e_1(t)\\ e_2(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0&\omega (t)\\ -\omega (t)& 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} e_1(t)\\e_2(t) \end{pmatrix} dtd​(e1​(t)e2​(t)​)=(0−ω(t)​ω(t)0​)⋅(e1​(t)e2​(t)​)

這裡 ω ( t ) = ω 1 , 2 ( t ) = e 1 ′ ( t ) ⋅ e 2 ( t ) \omega (t)=\omega_{1,2}(t) =e_1'(t)\cdot e_2(t) ω(t)=ω1,2​(t)=e1′​(t)⋅e2​(t) ，曲率 κ ( t ) ≜ ω ( t ) ∣ c ′ ( t ) ∣ \kappa(t)\triangleq \frac{\omega (t)}{|c'(t)|} κ(t)≜∣c′(t)∣ω(t)​，詳細的定義寫在之前一篇筆記中。

進一步，在弧長參數下有 c ′ ′ ( s ) = e 1 ′ ( s ) = ω ( s ) e 2 ( s ) = κ ( s ) e 2 ( s ) c''(s)=e'_1(s)=\omega(s)e_2(s)=\kappa(s)e_2(s) c′′(s)=e1′​(s)=ω(s)e2​(s)=κ(s)e2​(s) 是以有 ∣ c ′ ′ ( s ) ∣ = ∣ κ ( s ) ∣ |c''(s)|=|\kappa(s)| ∣c′′(s)∣=∣κ(s)∣

這裡我們可以看到平面曲線曲率正負的意義：

首先最主要的一點是，因為在每一點曲率是一個數而已，這說明曲線二階導的方向，與 e 2 ( s ) e_2(s) e2​(s)的方向相同或者相反，總之他們在一條直線上！

（我寫完之後幾天又繞回了這個問題，發現這是相當本質的一個結論， n n n維歐式空間中，非退化的曲線，自身前 n n n 階導數就是正交的！）

因為二階導數的正負，決定了曲線的凹凸性，二階導大于0，曲線下凸；二階導小于0，曲線上凸；二階導等于0，曲線沒有凸性。

再結合由Frenet标架自身性質所決定的， e 1 ( s ) e_1(s) e1​(s)為曲線的切線方向， e 2 ( s ) e_2(s) e2​(s)由 e 1 ( s ) e_1(s) e1​(s)逆時針旋轉 9 0 ∘ 90^{\circ} 90∘ 得到（為了和 R 2 \mathbb{R}^2 R2空間中的基底保持相同定向。）是以我們知道， κ ( s ) > 0 \kappa (s)>0 κ(s)>0 表示 e 2 ( s ) e_2(s) e2​(s)與曲線彎曲方向相同，反之，則相反；若 κ ( s ) = 0 \kappa(s)=0 κ(s)=0自然表示曲線在這一點處不彎曲。（不同的參數 s s s 或者 t t t 并不改變上述向量的方向，隻是在大小上相差個常數倍。）

接下來，我們來算一算，如果不對曲線進行弧長參數化，用最原本的參數，曲率的表達式是怎樣的：

Proposition 4.1.1   c : I → R 2 c:I\rightarrow \mathbb{R}^2 c:I→R2 為一條滿足Frenet條件的參數化平面曲線，則其曲率 κ ( t ) = det ( c ′ ( t ) , c ′ ′ ( t ) ) ∣ c ′ ( t ) ∣ 3 \kappa(t)=\frac{\text{det}(c'(t),c''(t))}{|c'(t)|^3} κ(t)=∣c′(t)∣3det(c′(t),c′′(t))​

Proof:

對任意參數曲線，都可以寫成 c = c ~ ∘ ϕ c = \tilde{c} \circ \phi c=c~∘ϕ的形式，這裡 s = ϕ ( t ) = ∫ x 0 t ∣ c ′ ( τ ) ∣ d τ , ∴ ϕ ′ = ∣ c ′ ( t ) ∣ s=\phi (t)= \int^t_{x_0}|c'(\tau)|d\tau,\therefore \phi'=|c'(t)| s=ϕ(t)=∫x0​t​∣c′(τ)∣dτ,∴ϕ′=∣c′(t)∣（證明寫在筆記(2)中的命題2.2.5）

那麼

c ′ ( t ) = ϕ ′ ( c ~ ′ ∘ ϕ ) , c ′ ′ ( t ) = ϕ ′ ′ ( c ~ ′ ∘ ϕ ) + ( ϕ ′ ) 2 ( c ~ ′ ′ ∘ ϕ ) c'(t)=\phi'(\tilde{c}' \circ \phi), c''(t)=\phi''(\tilde{c}' \circ \phi)+(\phi')^2(\tilde{c}'' \circ \phi) c′(t)=ϕ′(c~′∘ϕ),c′′(t)=ϕ′′(c~′∘ϕ)+(ϕ′)2(c~′′∘ϕ)

注意這裡 c ~ ′ ∘ ϕ = c ~ ′ ( s ) = e ~ 1 , c ~ ′ ′ ∘ ϕ = c ~ ′ ′ ( s ) = κ ~ ( s ) e ~ 2 ( s ) \tilde{c}' \circ \phi=\tilde{c}'(s)=\tilde{e}_1, \tilde{c}'' \circ \phi=\tilde{c}''(s)=\tilde{\kappa}(s)\tilde{e}_2(s) c~′∘ϕ=c~′(s)=e~1​,c~′′∘ϕ=c~′′(s)=κ~(s)e~2​(s)

寫成矩陣的形式：

( c ′ ( t ) c ′ ′ ( t ) ) = ( ϕ ′ 0 ϕ ′ ′ ϕ ′ 2 ) ( 1 0 0 κ ~ ) ( e ~ 1 ( t ) e ~ 2 ( t ) ) \begin{pmatrix} c'(t)\\ c''(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \phi'& 0\\ \phi''& \phi^{'2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&\tilde{\kappa} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde{e}_1(t)\\ \tilde{e}_2(t) \end{pmatrix} (c′(t)c′′(t)​)=(ϕ′ϕ′′​0ϕ′2​)(10​0κ~​)(e~1​(t)e~2​(t)​)由于曲率在參數變換下不變，上式兩邊取行列式便得到了結果。

事實上，曲線為平面圓周，當且僅當曲率恒為非零常數；當曲率恒為零時，對應的曲線退化為一條直線。

4.2 三維空間中的曲線

類似的，我們可以計算一般非弧長參數曲線的曲率。在三維空間中，“曲率”含有兩部分，曲率 κ ( t ) \kappa (t) κ(t) 和撓率 τ ( t ) \tau(t) τ(t)，分别計算下：

Proposition 4.2.1   c : I → R 3 c:I\rightarrow \mathbb{R}^3 c:I→R3 為一條滿足Frenet條件的參數化空間曲線，則其曲率 κ ( t ) = ∣ c ′ ( t ) × c ′ ′ ( t ) ∣ ∣ c ′ ( t ) ∣ 3 \kappa(t)=\frac{|c'(t)\times c''(t)|}{|c'(t)|^3} κ(t)=∣c′(t)∣3∣c′(t)×c′′(t)∣​, τ ( t ) = det ( c ′ ( t ) , c ′ ′ ( t ) , c ′ ′ ′ ( t ) ) ∣ c ′ ( t ) × c ′ ′ ( t ) ∣ 2 \tau(t)=\frac{\text{det}(c'(t),c''(t),c'''(t))}{|c'(t)\times c''(t)|^2} τ(t)=∣c′(t)×c′′(t)∣2det(c′(t),c′′(t),c′′′(t))​.

Proof:

與二維情況類似，将曲線寫為 c = c ~ ∘ ϕ c = \tilde{c} \circ \phi c=c~∘ϕ，然後求導，寫成矩陣形式：

( c ′ ( t ) c ′ ′ ( t ) c ′ ′ ′ ( t ) ) = ( ϕ ′ ϕ ′ ′ ϕ ′ 2 ϕ ′ ′ ′ 3 ϕ ′ ϕ ′ ′ ( ϕ ′ ) 3 ) ( 1 0 κ ~ ( s ) − κ ~ 2 ( s ) κ ~ ′ ( s ) κ ~ ( s ) τ ~ ( s ) ) ( e ~ 1 ( t ) e ~ 2 ( t ) e ~ 3 ( t ) ) \begin{pmatrix} c'(t)\\ c''(t)\\c'''(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \phi'&&\\ \phi''& \phi^{'2}&\\ \phi'''& 3\phi' \phi''& (\phi')^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1& &\\ 0&\tilde{\kappa}(s)&\\ -\tilde{\kappa}^2(s) & \tilde{\kappa}'(s) &\tilde{\kappa}(s) \tilde{\tau}(s) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde{e}_1(t)\\ \tilde{e}_2(t)\\ \tilde{e}_3(t) \end{pmatrix} ⎝⎛​c′(t)c′′(t)c′′′(t)​⎠⎞​=⎝⎛​ϕ′ϕ′′ϕ′′′​ϕ′23ϕ′ϕ′′​(ϕ′)3​⎠⎞​⎝⎛​10−κ~2(s)​κ~(s)κ~′(s)​κ~(s)τ~(s)​⎠⎞​⎝⎛​e~1​(t)e~2​(t)e~3​(t)​⎠⎞​

先計算曲率 κ ( t ) \kappa(t) κ(t)： c ′ ( t ) × c ′ ′ ( t ) = ϕ ′ ( t ) e ~ 1 ( s ) × ( ϕ ′ ′ e ~ 1 ( s ) + ( ϕ ′ ) 2 κ ~ ( s ) e ~ 2 ( s ) ) = ∣ c ′ ( t ) ∣ 3 k ~ ( s ) e ~ 3 ( s ) c'(t)\times c''(t)=\phi'(t)\tilde{e}_1(s)\times (\phi'' \tilde{e}_1(s)+(\phi')^2\tilde{\kappa}(s)\tilde{e}_2(s))=|c'(t)|^3\tilde{k}(s)\tilde{e}_3(s) c′(t)×c′′(t)=ϕ′(t)e~1​(s)×(ϕ′′e~1​(s)+(ϕ′)2κ~(s)e~2​(s))=∣c′(t)∣3k~(s)e~3​(s)

由曲率的參數變換不變性， κ ( t ) = ∣ c ′ ( t ) × c ′ ′ ( t ) ∣ ∣ c ′ ( t ) ∣ 3 \kappa(t)=\frac{|c'(t)\times c''(t)|}{|c'(t)|^3} κ(t)=∣c′(t)∣3∣c′(t)×c′′(t)∣​.

再在上面矩陣兩邊取行列式，就得到： τ ( t ) = det ( c ′ ( t ) , c ′ ′ ( t ) , c ′ ′ ′ ( t ) ) ∣ c ′ ( t ) × c ′ ′ ( t ) ∣ 2 \tau(t)=\frac{\text{det}(c'(t),c''(t),c'''(t))}{|c'(t)\times c''(t)|^2} τ(t)=∣c′(t)×c′′(t)∣2det(c′(t),c′′(t),c′′′(t))​

空間曲線由曲率和撓率唯一決定，假若二者均為常數（注意在空間中，曲率 κ > 0 \kappa>0 κ>0）：

1.當 τ ≠ 0 \tau \neq 0 τ​=0時，曲線為螺旋線(Helix)；

2.當 τ \tau τ恒為非零常數時，曲線退化為平面圓周。

證明也很簡單，一方面螺旋線的曲率撓率恒為常數；另一方面，任意恒為常數的曲率撓率，總可以寫成螺旋線所對應的形式。

接下來我們再來看一看Frenet标架，是如何唯一決定曲線的.

我們試圖對一條弧長參數化曲線進行泰勒展開來做，這就涉及到用Frenet标架來表示曲線的導數，這個也好辦，上方矩陣形式的最後兩個矩陣就是我們要的：

( c ′ ( s ) c ′ ′ ( s ) c ′ ′ ′ ( s ) ) = ( 1 0 κ ( s ) − κ 2 ( s ) κ ′ ( s ) κ ( s ) τ ( s ) ) ( e 1 ( s ) e 2 ( s ) e 3 ( s ) ) \begin{pmatrix} c'(s)\\ c''(s)\\c'''(s) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1& &\\ 0&\kappa(s)&\\ -\kappa^2(s) & \kappa'(s) &\kappa(s) \tau(s) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e_1(s)\\ e_2(s)\\ e_3(s) \end{pmatrix} ⎝⎛​c′(s)c′′(s)c′′′(s)​⎠⎞​=⎝⎛​10−κ2(s)​κ(s)κ′(s)​κ(s)τ(s)​⎠⎞​⎝⎛​e1​(s)e2​(s)e3​(s)​⎠⎞​

我們現在可以用泰勒公式了：

c ( s 0 + s ) ≈ c ( s 0 ) + s c ′ ( s 0 ) + s 2 2 c ′ ′ ( s 0 ) + s 3 6 c ′ ′ ′ ( s 0 ) = c ( s 0 ) + ( s − κ 2 6 s 3 ) e 1 + ( κ 2 s 2 + κ ′ 6 s 3 ) e 2 + κ τ 6 s 3 e 3 \begin{aligned} c(s_0+s)&\approx c(s_0)+sc'(s_0)+\frac{s^2}{2}c''(s_0)+\frac{s^3}{6}c'''(s_0)\\ &=c(s_0)+(s-\frac{\kappa^2}{6}s^3)e_1+(\frac{\kappa}{2}s^2+\frac{\kappa'}{6}s^3)e_2+\frac{\kappa \tau}{6}s^3e_3\\ \end{aligned} c(s0​+s)​≈c(s0​)+sc′(s0​)+2s2​c′′(s0​)+6s3​c′′′(s0​)=c(s0​)+(s−6κ2​s3)e1​+(2κ​s2+6κ′​s3)e2​+6κτ​s3e3​​

因為 s s s 是小量，其高階可以扔掉，是以在 e 1 − e 2 e_1-e_2 e1​−e2​ 平面上，曲線的改變近似為 ( s , κ 2 s 2 ) (s,\frac{\kappa}{2}s^2) (s,2κ​s2);

在 e 1 − e 3 e_1-e_3 e1​−e3​ 平面上，曲線的改變近似為 ( s , κ τ 6 s 3 ) (s,\frac{\kappa \tau}{6}s^3) (s,6κτ​s3);

在 e 2 − e 3 e_2-e_3 e2​−e3​ 平面上，曲線的改變近似為 ( κ 2 s 2 , κ τ 6 s 3 ) (\frac{\kappa}{2}s^2,\frac{\kappa \tau}{6}s^3) (2κ​s2,6κτ​s3).

這裡剛好說到第三個曲線，被成為Neil抛物線，其特點是在尖點(cusp)處連續可導，當然在這裡他就不滿足函數的定義了。

将他們畫在三維坐标系中：

（圖來自 UTM Calculus and Analysis in Euclidean Space p402）

這裡 T T T是Tangent vector的簡寫，對應 e 1 e_1 e1​;

N N N 是Normal vector，對應 e 2 e_2 e2​;

B B B 是Binormal vector，對應 e 3 e_3 e3​.

4.3 環繞數定理

這個是平面曲線的全局性質(Global Theory)，之前講的标架，曲率都是對曲線的局部而言，那麼對全局我們可以先考慮，比方說，曲線轉了多少圈。

這一章在Klingenberg的書中語言叙述還是挺繁瑣的，直覺了解就好。

先說下什麼是閉曲線：

用好了解的說法，這條曲線具有周期性，且處處都是光滑的(特别是在相同兩部分連接配接的地方)。在傅裡葉分析裡我們還會見到他，圓上的曲線。

簡單就是一一映射的意思。

是以簡單閉曲線就是一條光滑周期參數曲線，且在每個周期上，都是一一映射的。

接下來是環繞數的概念：

在平面上一個光滑參數曲線的切向量是會随着曲線的方向轉的，取定一個固定的坐标系，把切向量和 x x x-坐标軸的夾角定義為 θ ( t ) \theta(t) θ(t) ，其中 t t t 為曲線的參數，那麼顯然這個 θ ( t ) \theta(t) θ(t) 除了在 π \pi π 和 2 π 2\pi 2π 這兩個零界點附近都是光滑的。

拿圓舉例子，在起始位置，它的切向量和x軸夾角為 π 2 \frac{\pi}{2} 2π​，繼續逆時針前進，到它的正上方時，夾角為 π \pi π，快到正下方，卻還沒到時，夾角接近 2 π 2\pi 2π ，當到了正下方後，與 x x x-軸夾角從新從0算起。

是以我們總可以通過給夾角加一個 2 π 2\pi 2π的整數倍，使得這個夾角函數 θ ( t ) \theta(t) θ(t)是連續且可導的，比方說剛說的例子，本來過了圓周的正下方，夾角重新回到0，我們隻要對他加 2 π 2\pi 2π，使得夾角變成 2 π + θ 2\pi+\theta 2π+θ，變成全局的連續可導函數即可。

環繞數，對光滑參數曲線，定義為在曲線的兩個端點 [ a , b ] [a,b] [a,b]的角度之差再除 2 π 2\pi 2π： n c = θ ( b ) − θ ( a ) 2 π n_c=\frac{\theta(b)-\theta(a)}{2\pi} nc​=2πθ(b)−θ(a)​.

比方說對機關圓周 c = ( cos ⁡ θ , sin ⁡ θ ) , θ ∈ [ 0 , 2 π ] c=(\cos \theta,\sin \theta), \theta\in[0,2\pi] c=(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π]的環繞數，按定義為1；

機關圓周 c = ( cos ⁡ 2 θ , sin ⁡ 2 θ ) , θ ∈ [ 0 , 2 π ] c=(\cos2 \theta,\sin 2\theta), \theta\in[0,2\pi] c=(cos2θ,sin2θ),θ∈[0,2π]的環繞數，按定義為2；

機關圓周 c = ( cos ⁡ ( − θ ) , sin ⁡ ( − θ ) ) , θ ∈ [ 0 , 2 π ] c=(\cos{(- \theta)},\sin{(- \theta)}), \theta\in[0,2\pi] c=(cos(−θ),sin(−θ)),θ∈[0,2π]的環繞數，按定義為-1.

更進一步，對于分段光滑的參數曲線，定義一個外角(exterior angle)，記為 α i \alpha_i αi​，表示對于一個分段光滑節點 a i a_i ai​ 左右兩端點角度的內插補點：即從 c ′ ( a i − ) c'(a_i^-) c′(ai−​)到 c ′ ( a i + ) c'(a_i^+) c′(ai+​)的角度內插補點，規定逆時針為正，順時針為負， − π < α i < π -\pi<\alpha_i<\pi −π<αi​<π.

是以對分段光滑參數曲線的環繞數就定義為： n c = 1 2 π ∑ i ( θ i ( b i ) − θ i ( a i ) ) + 1 2 π ∑ i α i . n_c=\frac{1}{2\pi}\sum_i(\theta_i(b_i)-\theta_i(a_i))+\frac{1}{2\pi}\sum_i\alpha_i. nc​=2π1​i∑​(θi​(bi​)−θi​(ai​))+2π1​i∑​αi​.

這裡的 a i , b i a_i,b_i ai​,bi​表示分段光滑區間的端點。

接下來是看起來很顯然，但很有用的環繞數定理(Umlaufsatz)，這是他的德語名字。

Theorem 4.3.1 假設 c : I → R n c:I\rightarrow \mathbb{R}^n c:I→Rn是一條分段光滑的，正則的簡單閉曲線，則它的環繞數 n c = ± 1. n_c=\pm1. nc​=±1.

這裡的簡單閉曲線其實可以很複雜：

比如簡單光滑曲線可以不簡單：

再比如簡單分斷光滑曲線可以相當複雜：

但他們的環繞數其實都是 1 1 1或者 − 1 -1 −1，即繞着走到起點，其實都隻繞了一圈。

參考：

[1]W. Klingenberg.   A course in differential geometry.   Translated from the German by David Hoffman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 51. Springer-Verlag, 1978.

[2]J. Shurman.   Calculus and Analysis in Euclidean Space   Undergraduate Texts in Mathematics,Springer-Verlag, 2016.

[3]廈門大學楊波老師的講義：http://math.xmu.edu.cn/group/ga/dg_files/surface_notes.pdf