從歐洲到美國的拓撲學
—讀《20世紀數學經緯》之格丁根學派黃金時期（1918-1933）摘要9拓撲學的發展
拓撲學，原意是地志學，研究地形的學問.一個地方的地形，當然是從總體上考察，并不要求精細入微，由字根的含義，可見拓撲學應是研究幾何圖形的宏觀性質，從大範圍出發、整體上着眼的數學分支.
“拓撲”一詞是陳省身在940年代向青年研究人員講課時譯出的，當時他還戲稱之為“托缽”，意為應當像出家修行那樣認真苦讀。
拓撲學問題的淵源，大家都知道出自歐拉.著名的哥尼斯去七橋問題是把陸地看成點，橋看成線、從總體把握它的結構，結果化為個“一筆畫”問題.
多面體.其頂點數V、棱數E和面數F總有等式V+F-E=2.
這一等式的成立與多面體的形狀大小無關，僅和它的總體結構有關，這又是一個典型的拓撲學問題.
18世紀的數學，正是研究局部現象的微積分學大踏步征服各科領域之時，此類整體性問題尚未引起重視，隐藏在它們背後的數學内容當然也不會得到開發。
19世紀的數學提出的許多問題，住作涉及高維幾何圖形的整體性質.高斯研究了線積分，其路徑是兩條不相交而環套者的有向線C1、C2:這實際上是要研究環面C1×C2到球面S的映射的覆寫次數.黎曼提出的問題更為般，在幾何上他開創了流形的研完，在複分析中，他研究解析函數的解析開拓，從多值函數的一葉到另外一葉.這顯然是一個典型的拓撲學問題.H外爾在1916年寫的《黎曼曲面》一書對此作了回答和推廣.此外，克羅内克考慮了一組函數f1，f2，……的公共零點集合的結構，導緻所謂“克羅内克特征标”，這其實也是拓撲學問題.
大數學家龐加萊開創了拓撲學的新局面！他在研究動力系統理論時，把局部類似n維開球的幾維流形作為出發點，并首創性地給出了曲面的道路。1895年，龐加萊寫了《位置分》一書，至今仍是典範.龐加萊的拓撲學丁作确實是超前于時代，當時的數學界并未引起重視。
20世紀的最初十幾年，拓撲學工作僅限于點集拓撲學研究.豪斯多夫的《集合論基礎》是極好的總結.
進入1920年代，十分強勁的拓撲研究開始了.到了1935年的莫斯科拓撲會議，終于實作了一次較大規模的國際交流和檢閱，在代數拓撲方面作出基本貢款的主要人物有：
荷蘭：布勞威爾、弗萊登塔爾：瑞上：霍普夫.德·拉姆；
德國：E.諾特；
英國：霍奇
蘇聯：亞曆山特羅夫、柯爾莫哥洛夫、龐特裡亞金；
美國：維布倫、莫爾斯、亞曆、萊夫謝茨(Solomon Lefchet2，1884～1972)、惠特尼：
丹麥：尼爾森;
捷克：切林
波蘭：夕爾定斯基、岸拉托大斯基、赫維茨
布勞威爾在1910年代相當活躍.他給出維數不變性以及不動點理論等
1920年代，在萊夫謝資和霍奇之行過激烈的競争.他們都緻力于研究如何将拓撲學用于代數幾何.
弗歲獲瓦夫(Wroclaw)，在本地上人學時，即被布勞戚爾的拓維數不變性定理所迷住.1920年去柏林大學，取得博士學位.1922年，在格丁根大學認識從蘇聯來訪的亞曆山德羅夫，兩人運用代數工具研究。1935年出版的《拓學》(Topol0g)第一卷，曾被譽為拓撲學界一個時期内的“聖經＇它的前言對到那時為止的代數拓撲學提供了廣博而深入的見解。
曆山德羅夫是蘇聯拓撲學派的創始人，他和蘇斯林、烏雷松等一起，以點集拓撲的工作引起世人注意。
美國的數學它1930三代以前還是落于歐洲，但是在拓撲學方面的研究并不落後.M.莫爾斯創立了臨界點理論，至今仍是上分強有力的工具。亞曆山大則完成了許多基礎性的研究1922年證明了對偶定明。
年輕的美國數學家惠特尼是20世紀拓撲學研究的代表人物之一，l932年，惠特尼由伯大指導在哈佛大學獲博士學位.兩年後重返哈佛，1952年去普林斯頓高等研究所直至退休.他是美國國家科學院院士，沃爾夫(Wo)獎獲得者.在1935年的莫斯科會議上，惠特尼報告了他在球叢方面的開拓性工作。
1930年代後期新一代的拓撲學家很快崛起，開辟了一系列的新領城：
蘇聯的龐特裡亞金提出一種示性類拓撲群理論；
中國的陳省身有關複域上微分幾何上的研究将纖維叢理論推向前進；
在法國開始形成拓撲學派，包括H.嘉當将拓撲學用于多複變分析，托姆(Rene Thom，1923～研究奇點理論；
在美國，有麥克萊恩提出涵蓋拓撲學的更一般的範疇結論，斯廷羅德為纖維叢建立了一般理論，其中惠持尼關于球叢的研究，被認為是有遠見的。
在莫斯科會議之後，拓撲學的中心逐漸移至美國事實正是如此.
