从欧洲到美国的拓扑学
—读《20世纪数学经纬》之格丁根学派黄金时期（1918-1933）摘要9拓扑学的发展
拓扑学，原意是地志学，研究地形的学问.一个地方的地形，当然是从总体上考察，并不要求精细入微，由字根的含义，可见拓扑学应是研究几何图形的宏观性质，从大范围出发、整体上着眼的数学分支.
“拓扑”一词是陈省身在940年代向青年研究人员讲课时译出的，当时他还戏称之为“托钵”，意为应当像出家修行那样认真苦读。
拓扑学问题的渊源，大家都知道出自欧拉.著名的哥尼斯去七桥问题是把陆地看成点，桥看成线、从总体把握它的结构，结果化为个“一笔画”问题.
多面体.其顶点数V、棱数E和面数F总有等式V+F-E=2.
这一等式的成立与多面体的形状大小无关，仅和它的总体结构有关，这又是一个典型的拓扑学问题.
18世纪的数学，正是研究局部现象的微积分学大踏步征服各科领域之时，此类整体性问题尚未引起重视，隐藏在它们背后的数学内容当然也不会得到开发。
19世纪的数学提出的许多问题，住作涉及高维几何图形的整体性质.高斯研究了线积分，其路径是两条不相交而环套者的有向线C1、C2:这实际上是要研究环面C1×C2到球面S的映射的覆盖次数.黎曼提出的问题更为般，在几何上他开创了流形的研完，在复分析中，他研究解析函数的解析开拓，从多值函数的一叶到另外一叶.这显然是一个典型的拓扑学问题.H外尔在1916年写的《黎曼曲面》一书对此作了回答和推广.此外，克罗内克考虑了一组函数f1，f2，……的公共零点集合的结构，导致所谓“克罗内克特征标”，这其实也是拓扑学问题.
大数学家庞加莱开创了拓扑学的新局面！他在研究动力系统理论时，把局部类似n维开球的几维流形作为出发点，并首创性地给出了曲面的道路。1895年，庞加莱写了《位置分》一书，至今仍是典范.庞加莱的拓扑学丁作确实是超前于时代，当时的数学界并未引起重视。
20世纪的最初十几年，拓扑学工作仅限于点集拓扑学研究.豪斯多夫的《集合论基础》是极好的总结.
进入1920年代，十分强劲的拓扑研究开始了.到了1935年的莫斯科拓扑会议，终于实现了一次较大规模的国际交流和检阅，在代数拓扑方面作出基本贡款的主要人物有：
荷兰：布劳威尔、弗莱登塔尔：瑞上：霍普夫.德·拉姆；
德国：E.诺特；
英国：霍奇
苏联：亚历山特罗夫、柯尔莫哥洛夫、庞特里亚金；
美国：维布伦、莫尔斯、亚历、莱夫谢茨(Solomon Lefchet2，1884～1972)、惠特尼：
丹麦：尼尔森;
捷克：切林
波兰：夕尔定斯基、岸拉托大斯基、赫维茨
布劳威尔在1910年代相当活跃.他给出维数不变性以及不动点理论等
1920年代，在莱夫谢资和霍奇之行过激烈的竞争.他们都致力于研究如何将拓扑学用于代数几何.
弗岁获瓦夫(Wroclaw)，在本地上人学时，即被布劳戚尔的拓维数不变性定理所迷住.1920年去柏林大学，取得博士学位.1922年，在格丁根大学认识从苏联来访的亚历山德罗夫，两人运用代数工具研究。1935年出版的《拓学》(Topol0g)第一卷，曾被誉为拓扑学界一个时期内的“圣经＇它的前言对到那时为止的代数拓扑学提供了广博而深入的见解。
历山德罗夫是苏联拓扑学派的创始人，他和苏斯林、乌雷松等一起，以点集拓扑的工作引起世人注意。
美国的数学它1930三代以前还是落于欧洲，但是在拓扑学方面的研究并不落后.M.莫尔斯创立了临界点理论，至今仍是上分强有力的工具。亚历山大则完成了许多基础性的研究1922年证明了对偶定明。
年轻的美国数学家惠特尼是20世纪拓扑学研究的代表人物之一，l932年，惠特尼由伯大指导在哈佛大学获博士学位.两年后重返哈佛，1952年去普林斯顿高等研究所直至退休.他是美国国家科学院院士，沃尔夫(Wo)奖获得者.在1935年的莫斯科会议上，惠特尼报告了他在球丛方面的开拓性工作。
1930年代后期新一代的拓扑学家很快崛起，开辟了一系列的新领城：
苏联的庞特里亚金提出一种示性类拓扑群理论；
中国的陈省身有关复域上微分几何上的研究将纤维丛理论推向前进；
在法国开始形成拓扑学派，包括H.嘉当将拓扑学用于多复变分析，托姆(Rene Thom，1923～研究奇点理论；
在美国，有麦克莱恩提出涵盖拓扑学的更一般的范畴结论，斯廷罗德为纤维丛建立了一般理论，其中惠持尼关于球丛的研究，被认为是有远见的。
在莫斯科会议之后，拓扑学的中心逐渐移至美国事实正是如此.
