UOJ#50 【UR#3C】链式反应 FFT求解多项式线性常微分方程

题目大意：给定 n 和集合C，对于 i=1..n 求多少 i 个节点有标号的多叉树满足：

1.父亲节点的标号大于子节点

2.一个点如果有儿子，则有两个无序的α型儿子，有 c 个无序的β型儿子，其中 c∈C

3.如果一个点是根节点或 α 型儿子，那么它可以有儿子或者是一个叶节点；如果一个点是 β 型儿子，那么它只能是一个叶节点

由于有标号，所以这里显然要使用指数级生成函数

设 fi 表示 i 个节点的多叉数数量，其指数级生成函数为：

F(x)=∑fixii!

那么考虑：

根节点是固定的，不参与标号的排列，首先把根节点刨掉，即：

F′(x)=∑fixi−1(i−1)!

然后一棵树可能只有一个叶节点，刨掉之后就什么都不剩了；

也可能有儿子，这时候儿子分为三部分：

α1,α2,β ，三者的指数级生成函数分别为 F(x),F(x),C(x)

故直观上来看应该是 F2(x)C(x) ，但是这样不对，因为 α1 和 α2 没有顺序，所以应该是 12F2(x)C(x)

可以列出方程：

F′(x)=12F2(x)C(x)+1

这个方程怎么解？

牛顿迭代。

假设现在我们有待定多项式 x(t) 、常多项式 a(t) 、已知函数 f(x)=12ax2+1 ，求解方程：

ddtx=f(x)

老办法，倍增处理。

假设我们已经知道了 x(t) 的前 n 项xn，求 x(t) 的前 2n 项 x2n

泰勒展开：

ddtx2n=f(x2n)=f(xn)+f′(xn)(x2n−xn)+f′′(xn)(x2x−xn)2+...

ddtx2n=f(xn)+f′(xn)(x2n−xn) (mod t2n)

ddtx2n−x2nf′(xn)=f(xn)−xnf′(xn) (mod t2n)

看到这里学过微积分的人已经会构造了吧。

令 r=e−∫f′(xn)dt ，则 ddtr=−f′(xn)r

等式两边同乘 r 得到：

rddtx2n+x2nddtr=(f(xn)−xnf′(xn))r (mod t2n)

ddt(x2nr)=(f(xn)−xnf′(xn))r (mod t2n)

x2n=∫(f(xn)−xnf′(xn))r dtr (mod t2n)

x2n=∫(1−12ax2n)r dtr (mod t2n)

里面的一切计算都是 O(nlogn) 的，总时间复杂度 T(n)=O(nlogn)+T(n2)=O(nlogn)

注意常数……

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 530000
#define MOD 998244353
#define G 3
using namespace std;
int n,m,d;
long long inv[M];
int A[M],B[M];
void Linear_Shaker()
{
    int i;
    for(inv[]=,i=;i<=d<<;i++)
        inv[i]=(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
}
long long Quick_Power(long long x,int y)
{
    long long re=;
    while(y)
    {
        if(y&) (re*=x)%=MOD;
        (x*=x)%=MOD; y>>=;
    }
    return re;
}
void FFT(int a[],int n,int type){
    static int rev_bit[M];
    int i,j,k,w,wn,t,bit;
    for(bit=;<<bit<n;++bit);
    static int b[M];
    for(i=;i<n;i++)
        rev_bit[i]=(rev_bit[i>>]>>)|((i&)<<bit-);
    for(i=;i<n;i++)
        if(i<rev_bit[i])
            swap(a[i],a[rev_bit[i]]);
    for(k=;k<=n;k<<=)
        for(wn=Quick_Power(G,(long long)(MOD-)/k*type%(MOD-)),i=;i<n;i+=k)
            for(w=,j=;j<k>>;++j,w=(long long)w*wn%MOD)
            {
                t=(long long)w*a[i+j+(k>>)]%MOD;
                a[i+j+(k>>)]=a[i+j]-t<?a[i+j]-t+MOD:a[i+j]-t;
                a[i+j]=a[i+j]+t>=MOD?a[i+j]+t-MOD:a[i+j]+t;
            }
    if(type!=)
    {
        for(i=;i<n;i++)
            a[i]=(long long)a[i]*inv[n]%MOD;
    }
}
void Get_Inv(int a[],int b[],int n) 
//求a的逆，长度为n，结果储存在b中。
//要求传入时b[0...n<<1]为空。
{
    static int temp[M];
    int i;
    if(n==)
    {
        b[]=Quick_Power(a[],MOD-);
        return ;
    }
    Get_Inv(a,b,n>>);
    memcpy(temp,a,sizeof(a[])*n);
    memset(temp+n,,sizeof(a[])*n);
    FFT(temp,n<<,);
    FFT(b,n<<,);
    for(i=;i<n<<;i++)
        temp[i]=(long long)b[i]*(-(long long)temp[i]*b[i]%MOD+MOD)%MOD;
    FFT(temp,n<<,MOD-);
    memcpy(b,temp,sizeof(a[])*n);
    memset(b+n,,sizeof(a[])*n);
}
void Get_Ln(int a[],int b[],int n)
//求a的ln，长度为n，结果储存在b中。
//要求a的常数项为1。
{
    static int a_[M],a_inv[M];
    int i;
    Get_Inv(a,a_inv,n);
    for(i=;i<n-;i++)
        a_[i]=(long long)a[i+]*(i+)%MOD;
    FFT(a_,n<<,);
    FFT(a_inv,n<<,);
    for(i=;i<n<<;i++)
        b[i]=(long long)a_[i]*a_inv[i]%MOD;
    FFT(b,n<<,MOD-);
    for(i=n-;i;i--)
        b[i]=b[i-]*inv[i]%MOD;
    b[]=;
    memset(b+n,,sizeof(b[])*n);
    memset(a_,,sizeof(a_[])*n<<);
    memset(a_inv,,sizeof(a_inv[])*n<<);
}
void Get_Exp(int a[],int b[],int n)
//求a的exp，长度为n，结果储存在b中。
//要求传入时b[0...n<<1]为空。
//要求a的常数项为0。
{
    static int temp[M];
    int i;
    if(n==)
    {
        b[]=;
        return ;
    }
    Get_Exp(a,b,n>>);
    Get_Ln(b,temp,n);
    for(i=;i<n;i++)
        temp[i]=((i==)+MOD-temp[i]+a[i])%MOD;
    FFT(temp,n<<,);
    FFT(b,n<<,);
    for(i=;i<n<<;i++)
        b[i]=(long long)b[i]*temp[i]%MOD;
    FFT(b,n<<,MOD-);
    memset(b+n,,sizeof(b[])*n);
}
void Newton_Method(int a[],int b[],int n)
//求解常微分方程dx/dt=ax^2/2+1，长度为n，结果储存在b中。
//要求传入时b[0...n<<1]为空。
//x[2n]=int( (1-ax^2/2)*r )/r
//r=exp(-int(ax))
{
    static int temp[M],temp_temp[M],r[M],r_temp[M];
    int i;
    if(n==)
    {
        b[]=;
        return ;
    }
    Newton_Method(a,b,n>>);
    memcpy(temp,a,sizeof(a[])*n);
    memset(temp+n,,sizeof(a[])*n);
    FFT(temp,n<<,);
    FFT(b,n<<,);
    for(i=;i<n<<;i++)
        temp_temp[i]=(long long)temp[i]*b[i]%MOD;
    FFT(temp_temp,n<<,MOD-);
    for(i=n-;i;i--)
        temp_temp[i]=temp_temp[i-]*inv[i]%MOD*(MOD-)%MOD;
    temp_temp[]=;
    memset(r,,sizeof(a[])*n<<);
    Get_Exp(temp_temp,r,n);

    for(int i=;i<n<<;i++)
        temp[i]=(+inv[]*(MOD-)%MOD*temp[i]%MOD*b[i]%MOD*b[i]%MOD)%MOD;
    FFT(temp,n<<,MOD-);
    memset(temp+n,,sizeof(a[])*n);

    memcpy(r_temp,r,sizeof(a[])*n<<);
    FFT(temp,n<<,);
    FFT(r_temp,n<<,);
    for(int i=;i<n<<;i++)
        temp[i]=(long long)temp[i]*r_temp[i]%MOD;
    FFT(temp,n<<,MOD-);

    for(i=n-;i;i--)
        temp[i]=temp[i-]*inv[i]%MOD;
    temp[]=;
    memset(temp+n,,sizeof(a[])*n);

    memset(r_temp,,sizeof(a[])*n<<);
    Get_Inv(r,r_temp,n);

    FFT(temp,n<<,);
    FFT(r_temp,n<<,);
    for(int i=;i<n<<;i++)
        b[i]=(long long)temp[i]*r_temp[i]%MOD;
    FFT(b,n<<,MOD-);

    memset(b+n,,sizeof(a[])*n);
    memset(temp+n,,sizeof(a[])*n);
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(d=;d<=n+;d<<=);
    Linear_Shaker();

    long long temp=;
    for(int i=;i<n;i++)
    {
        scanf("%1d",&A[i]);
        A[i]=A[i]*temp;
        (temp*=inv[i+])%=MOD;
    }

    Newton_Method(A,B,d);

    temp=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        (temp*=i)%=MOD;
        printf("%d\n",int(B[i]*temp%MOD));
    }

    return ;
}