自动控制原理 （二）： 控制系统的微分方程

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要进一步研究一个自动控制系统， 就需要建立系统的数学模型来描述一个系统。 所谓数学模型， 就是描述系统输入、 输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 常用微分方程来描述系统各变量的动态关系。

建立微分方程的步骤如下：

1. 分析各元件的工作原理， 明确输入量和输出量；
2. 按照信号的传递顺序， 列写各变量的动态关系式；
3. 化简（线性化、 小曲中间变量）， 写出输入、 输出变量间的数学表达式。

常用元件的微分方程：

• 电阻： i = u R i=\frac{u}{R} i=Ru​​；
• 电容： i = C d u d t i=C\frac{\text du}{\text dt} i=Cdtdu​​​； 电感： u = d i d t u=\frac{\text di}{\text dt} u=dtdi​；​​
• 质量块： F = M d v d t F=M\frac{\text dv}{\text dt} F=Mdtdv​；
• 弹簧： F = k ( x 1 − x 2 ) F=k(x_1-x_2) F=k(x1​−x2​)；
• 阻尼器： F = b ( v 1 − v 2 ) F=b(v_1-v_2) F=b(v1​−v2​)；

控制系统的传递函数

概念

在经典控制理论中， 一般用传递函数来描述控制系统。 对于一个线性定常系统， 在零初始条件 （零输入+零状态） 下， 输出变量的 Laplace 变换与输入变量的 Laplace 变换之比， 称为该系统的传递函数。 如下图所示：

传递函数是变量 s 的有理分式， 且分子的次数 m 和分母的次数 n 满足 m ≤ n m\leq n m≤n​​。1

可以类比一下 电路 中的网络函数。

典型环节

系统的传递函数通常可以表示为：

G ( s ) = C ( s ) R ( s ) = b 0 s m + b 1 s m − 1 + ⋯ + b m − 1 s + b m a 0 s n + a 1 s n − 1 + ⋯ + a n − 1 s + a n G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{b_0s^m+b_1s^{m-1}+\dots+b_{m-1}s+b_m}{a_0s^n+a_1s^{n-1}+\dots+a_{n-1}s+a_n} G(s)=R(s)C(s)​=a0​sn+a1​sn−1+⋯+an−1​s+an​b0​sm+b1​sm−1+⋯+bm−1​s+bm​​

可进行因式分解， 分解为如下形式：

G ( s ) = K s r ∏ i = 1 h ( τ i s + 1 ) ∏ j = 1 l ( τ j 2 s 2 + 2 ζ j τ j s + 1 ) s v ∏ i = 1 k ( T i s + 1 ) ∏ j = 1 q ( T j 2 s 2 + 2 Z j T j s + 1 ) G(s)=\frac{Ks^r \prod_{i=1}^h(\tau_is+1)\prod^l_{j=1}(\tau_j^2s^2+2\zeta_j\tau_js+1)}{s^v\prod^k_{i=1}(T_is+1)\prod^q_{j=1}(T_j^2s^2+2\Zeta_jT_js+1)} G(s)=sv∏i=1k​(Ti​s+1)∏j=1q​(Tj2​s2+2Zj​Tj​s+1)Ksr∏i=1h​(τi​s+1)∏j=1l​(τj2​s2+2ζj​τj​s+1)​

一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积， 每个基本因子就称为 典型环节：

• 比例环节： K K K​​
• 积分环节: 1 s 1\over s s1​​
• 微分环节： s s s​
• 惯性环节： 1 T s + 1 1\over Ts+1 Ts+11​​
• 一阶微分环节： τ s + 1 \tau s+1 τs+1​
• 二阶振荡环节： 1 T 2 s 2 + 2 ζ T s + 1 1\over T^2s^2+2\zeta Ts+1 T2s2+2ζTs+11​​
• 二阶微分环节： τ 2 s 2 + 2 ζ τ s + 1 \tau^2s^2+2\zeta\tau s+1 τ2s2+2ζτs+1​
• 延迟环节： e − τ s \mathrm e^{-\tau s} e−τs​

动态结构图

动态结构图是表示组成控制系统的各个元件之间信号传递动态关系的图形。 2

绘制动态结构图的步骤如下：

1. 建立控制系统各元部件的微分方程：
2. 对各微分方程在零初始条件下， 进行 Laplace 变换， 并作出各元件结构图；
3. 按照系统中各变量的传递顺序， 依次将各元件结构图连接起来。 （通常输入在左， 输出在右）

例： 直流电动机： 电枢转动惯量为 J， 粘性摩擦系数为： f

{ u a = R a i a + L a d i a d t + E a 反电动势 : E a = K b d θ m d t 电机输出力矩 : T m = K t i a J d 2 θ m d t 2 + f d θ d t = T m \begin{cases} u_a=R_ai_a+L_a\frac{\text di_a}{\text dt}+E_a\\ \text{反电动势}: E_a=K_b\frac{\text d\theta_m}{\text dt}\\ \text{电机输出力矩}: T_m=K_ti_a\\ J\frac{\text d^2\theta_m}{\text dt^2}+f\frac{\text d\theta}{\text dt}=T_m \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​ua​=Ra​ia​+La​dtdia​​+Ea​反电动势:Ea​=Kb​dtdθm​​电机输出力矩:Tm​=Kt​ia​Jdt2d2θm​​+fdtdθ​=Tm​​

对上面的表达式进行 Laplace 变换， 可得：

{ U a ( s ) = R a I a ( s ) + L a s I a ( s ) + E a ( s ) E a ( s ) = K b s Θ ( s ) T m ( s ) = K t I a ( s ) J s 2 Θ ( s ) + f s Θ ( s ) = T m ( s ) \begin{cases} U_a(s)=R_aI_a(s)+L_asI_a(s)+E_a(s)\\ E_a(s)=K_bs\Theta(s)\\ T_m(s)=K_tI_a(s)\\ Js^2\Theta(s)+fs\Theta(s)=T_m(s)\\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​Ua​(s)=Ra​Ia​(s)+La​sIa​(s)+Ea​(s)Ea​(s)=Kb​sΘ(s)Tm​(s)=Kt​Ia​(s)Js2Θ(s)+fsΘ(s)=Tm​(s)​

电机的转角 θ \theta θ 应该作为输出， 而控制量 u a u_a ua​ 作为输入， 将上式做移项化简等操作， 根据信号走下即可画出动态结构图：

动态结构图的等效变换*

动态结构图可以做等效变换， 最终求出整个系统的传递函数， 但这种等效变换的方法在框图过于复杂时难以计算， 因此不是很常用。 这种情况下使用下一节的梅森公式会比较容易计算。 下面只列举常用的三种等效变换。

串联

并联

反馈

梅森公式

对于一个结构图， 有如下概念：

• 前向通道： 从输入到输出的通道， 并且按照箭头的指向经过的元件只有一次；
• 回路： 在结构图中信号闭合流动的回路；
• 回路传递函数： 回路中， 前向传递通道和反馈通道传递函数的乘积， 并且要算上综合点的正负号；
• 互不接触回路： 没有同一信号流过的不同回路。

梅森公式为：

G ( s ) = ∑ k = 1 N p k Δ k Δ G(s)=\frac{\sum^N_{k=1}p_k\Delta_k}{\Delta} G(s)=Δ∑k=1N​pk​Δk​​

式中：

• p k p_k pk​ ： 第 k 条前向通道传递函数的乘积；
• Δ \Delta Δ ： 系统特征多项式： Δ = 1 − ∑ L i + ∑ L i L j − ∑ L i L j L k + … \Delta=1-\sum L_i+\sum L_iL_j-\sum L_iL_jL_k+\dots Δ=1−∑Li​+∑Li​Lj​−∑Li​Lj​Lk​+… ；
  • L i L_i Li​ ： 第 i 个回路传递函数；
  • L i L j L_iL_j Li​Lj​ ： 两个互不接触回路传递函数的乘积；
  • L i L j L k L_iL_jL_k Li​Lj​Lk​​ ： 三个互不接触回路传递函数的乘积；
  • … \dots …
• Δ k \Delta_k Δk​ ： 第 k 条前向通道的余因子， 又称余子式， 即 Δ \Delta Δ 中去除与第 k 条前向通道相接触的回路后的余项。

可以借助如下系统， 分别用等效变换法和梅森公式计算来理解一下：

参考文献

《自动控制原理 （第二版）》 | 程鹏 | 高等教育出版社

1. 如果分子次数大于分母的话， 经过 Laplace 反变换会发现势必出现微分环节， 而理想的微分从物理上来讲是不可实现的， 对于理想微分 y ˙ = f ( x + Δ ) − f ( x ) Δ \dot y = \frac{f(x+\Delta)-f(x)}{\Delta} y˙​=Δf(x+Δ)−f(x)​ ， 这意味着当 Δ > 0 \Delta>0 Δ>0 时， 当前的输出需要未来的输入， 这是不可能的。 实际上相等都很少， 大部分都是分子次数小于分母 ↩︎
2. 这个也很像 Simulink 的思路 ↩︎