[導讀] 在知乎上看到一個問題，傅裡葉變換、拉普拉斯變換、z 變換的聯系是什麼？為什麼要進行這些變換？我覺得這是一個非常好的問題，貌似一下子也回答不上來，是以整理學習并分享一下。
要了解這些變換，首先需要了解什麼是數學變換！如果不了解什麼是數學變換的概念，那麼其他的概念我覺得也沒有了解。
數學變換是指數學函數從原向量空間在自身函數空間變換，或映射到另一個函數空間，或對于集合x到其自身（比如線性變換）或從x到另一個集合y的可逆變換函數。比如(圖檔來源wikipedia)：
旋轉變換(rotation)
鏡像變換（reflection）
平移變換(translation)
數學中還有很多其他的數學變換，其本質都可以看成是将函數f(x)利用變換因子進行的一種數學映射，其變換結果是函數的自變量有可能還是原來的幾何向量空間，或許會變成其他的幾何向量空間，比如傅立葉變換就從時域變換為頻域。
而傅立葉變換和拉普拉斯變換的本質都是對連續或有限個第一類間斷點函數的一種積分變換，那麼什麼是積分變換呢？
積分變換通過對原函數對映射函數空間自變量在特定區間進行積分運算，将函數從其原始函數空間映射到另一個函數空間。這樣一來，其中原始函數的某些屬性在映射函數空間可能比原始函數空間更容易表征或分析。通常可以使用逆變換将變換後的函數映射回到原函數空間，這樣的變換稱為可逆變換。
假定對于函數為自變量t的函數f(t)，通常積分變換都具有如下類似的範式：
函數f(t)是該變換的輸入，(tf)(u)為變換的輸出，是以積分變換一般也稱為一種特定的數學運算符。而函數k(t,u)稱為積分核函數(kernel function)。
這裡有一個對稱核函數的概念，這是什麼意思呢？就是将函數k的兩個自變量交換位置仍然相等：
有的變換可逆，這是什麼概念呢？就是變換後通過逆變換，還能還原！
觀察正變換與逆變換，你會發現：
核函數剛好兩個自變量交換位置
正變換是對原函數f(t)在時間次元上進行積分
逆變換是在變換後的函數在u次元上進行積分
在談傅立葉變換之前，先談談傅立葉級數會更容易了解傅立葉變換。在數學中，傅裡葉級數（fourier series）是把類似波的函數表示成簡單正弦波的方式。更正式的說法是，它能将任何周期性函數或周期性信号分解成一個（可能由無窮個頻率分量組成的）簡單振蕩函數的集合，即正弦函數和餘弦函數（或者，等價地使用複指數），從數學的定義來看：
公式中的k表示第k次諧波，這是個什麼概念呢？不容易了解，看下對于一個方波的前4次諧波合成動圖就比較好了解了。這裡合成的概念是指時域上的疊加的概念，圖檔來源wikipedia
從上圖可以直覺看出，周期性方波，可以看成多次諧波的線性疊加，其幅度譜圖，是一根根離散的譜線，且幅度值越來越低，從這個角度可以看出高次諧波的分量，占比越來越小。其譜線的位置為：
應用：這裡可以聯想到我們的電子系統中的時鐘信号，做硬體的朋友或有經驗，在做emc的輻射測試時，發現産品電路闆在某些頻點超标，有經驗的同學會很快定位到輻射源。其實這裡大機率就是因為周期性的時鐘信号造成的，從頻率的角度可以看成是其基頻的多次諧波的線性疊加，而某個諧波分量在電路線路尺寸滿足輻射條件時，就從電路闆上脫逸而出，變為電磁波能量向空間傳播。是以反向去查該頻率可能對應的周期性時鐘信号的基頻就能很快定位到輻射源，進而解決問題。
說到傅立葉級數是周期性信号可以用傅立葉級數展開，那麼是不是任一周期性信号都可以進行傅立葉級數展開呢？答案是否定的，必須滿足著名的狄利克雷(dirichlet)條件：
在一周期内，如果有間斷點存在，則間斷點的數目需要是有限個數
在一周期内，極大值和極小值的數目是有限個數的
在一周期内，信号或者函數是絕對可積分的。見前文公式。
前面說了傅立葉級數，接下來再看傅立葉變換。傅立葉變換之是以稱為傅立葉變換，是由于1822年，法國數學家傅立葉(j.fourier) 在研究熱傳導理論時首次證明了将周期函數展開為傅立葉級數的理論，并進而不斷發展成為一個有力的科研分析工具。
假定周期性信号周期t逐漸變大，則譜線間間隔将逐漸變小，如果外推周期t無限放大，變成無窮大，則信号或者函數就變成非周期信号或函數了，此時譜線就變成連續的了，而非一根一根離散的譜線！那麼傅立葉變換正是這種一般性的數學定義：
其核函數的兩個自變量為t, ，對于一般稱為角速度(可以形象地了解為旋轉運動的快慢)，是表征頻率空間的。
上面這兩個公式是啥意思呢？在度量空間可積可以了解成其在度量空間能量有限，也即對其自變量積分（相當于求面積)是一個确定值，那麼這樣的函數或者信号就可以進行傅立葉變換展開，展開得到的就變成是頻域的函數了，如果對頻率将函數值繪制出曲線就是我們所說的頻譜圖，而其逆變換就比較好了解了，如果我們知道一個信号或者函數譜密度函數，就可以對應還原出其時域的函數，也能繪制出時域的波形圖。
傅立葉變換公式，從了解的角度，可以看成無限多無窮小的能量之和，而傅立葉級數也是各諧波分量的加和，所不同的是，前者相對于頻率變量是連續的，而後者相對于頻率則是離散的！
當然，本文限定讨論時域信号是因為我們電子系統中的應用最為普遍的就是一個時域信号。推而廣之，其他的多元度信号也能利用上面定義進行推廣，同樣在多元空間信号也非常有應用價值，比如2維圖像處理、3維圖像重建等等。
傅立葉級數對應的是周期信号，而傅立葉變換則對應的是一個時間連續可積信号（不一定是周期信号）
傅立葉級數要求信号在一個周期内能量有限，而後者則要求在整個區間能量有限
傅立葉級數的對應是離散的，而傅立葉變換則對應是連續的。
故而，兩者的實體含義不同，且其量綱也是不同的，代表周期信号的第k次諧波幅度的大小，而則是頻譜密度的概念。是以答案是這兩者從本質上不是一個概念，傅立葉級數是周期信号的另一種時域的表達方式,也就是正交級數,它是不同的頻率的波形的時域疊加。而傅立葉變換則是完全的頻域分析，傅裡葉級數适用于對周期性現象做數學上的分析，傅裡葉變換可以看作傅裡葉級數的極限形式，也可以看作是對周期現象進行數學上的分析，同時也适用于非周期性現象的分析。
是以傅立葉變換與拉普拉斯變換的聯系就比較容易聯系了。
拉普拉斯變換，将原函數從時間次元（不一定是時間次元，隻是友善了解本文以常見的時間次元信号進行描述），映射為複平面
傅立葉變換是拉普拉斯變換的特例，也即變換核函數時，拉普拉斯變換就變成傅立葉變換了。相當于隻取虛部，實部為0.
傅立葉變換是從原次元變換為頻率次元，對于信号處理而言相當于将時域信号變換為頻域進行分析，為信号處理提供了強大的數學理論基礎及工具。
拉普拉斯變換，将原次元變換為複頻域，在電子電路分析以及控制理論中，為建立系統的數學描述提供了強大的數學理論基礎，學過控制理論的一天到晚都與傳遞函數打交道，其本質就是拉普拉斯變換對系統的一種數學模組化描述。為分析系統的穩定性、可控性提供了數學工具。
z變換本質上是拉普拉斯變換的離散形式。也稱為fisher-z變換。對于連續信号進行抽樣變換就得到了原函數的離散序列：
那麼z變換的意義在于什麼呢？在數字信号處理以及數字控制系統中，z變換提供了數學基礎。利用z變換很快就能将一個傳遞函數描述成差分方程形式，這就為程式設計實作提供了數學依據，比如一個數字濾波器知道其z變換形式，寫代碼就是分分鐘的事情了，同樣知道一個控制算法的z變換形式，同樣編代碼也是水到渠成的事情。
這裡談到z變換的離散形式，那麼這裡也提一句，傅立葉變換數字落地，也即離散形式是離散傅立葉變換dft(discrete fourier transform)，而大家所熟知的快速傅立葉變換fft(fast fourier transform)則是dft的高效率實作。
要了解三種變換的聯系差別，首先要了解什麼是數學變換，什麼是積分變換。傅立葉變換以及拉普拉斯變換本質上都是連續或有限個第一類間斷點函數的積分變換，而傅立葉變換是拉普拉斯變換的特殊形式，而z變換是拉普拉斯變換的離散形式。每種變換都有其應用價值，傅立葉變換在信号處理的頻域分析中提供了強大的數學工具，而拉普拉斯變換在電子學、控制工程、航空航天等領域提供了模組化、分析的數學分析工具；z變換則将這些變換進而落地為數字實作提供數學理論依據。dft為fft的離散化形式，而fft是dft的算法優化實作。
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本文轉載自公衆号《嵌入式客棧》，作者授權釋出，本文僅代表作者觀點。