本系列文章由birdlove1987編寫，轉載請注明出處。
文章連結：
前面有一篇文章讨論過多坐标系的問題。有的人可能會問我那麼多坐标系，它們之間怎麼關聯呢？嘿嘿~這次的内容可以為解決這個問題打基礎奧！
線性變換基礎（3d數學程式設計中，形式轉換經常是錯誤的根源，是以這部分大家要多多思考，仔細運算）
一般來說，方陣（就是行和列都相等的矩陣）能描述任意的線性變換，是以後面我們一般用方陣來變換
其實簡單的說，線性變換就是保留直線和平行線，原點沒有移動，而其他的幾何性質，如長度、角度、面積和體積可能被改變。
從視覺的直覺角度上講，線性變換可能“拉伸”坐标系，但不會“彎曲”和“卷折”坐标系（畢竟是“線性”的變換嘛，不然可能就叫做曲線變換了）。
下面先引入一個直覺的變換例子：
先在機關基向量處畫一個茶壺
然後我們給出一個變換矩陣
然後我們讓這個茶壺的坐标按上面的矩陣經行變換
這個變換包含z軸順時針旋轉45°和不規則縮放。
在讨論具體的變換之前，還必須要搞清楚，我們到底要變換什麼。在這裡我們所提到的變換，其内容主要就兩個：變換物體和變換坐标系。
變換物體，意味着變換物體上所有的點，這這點将被移動到一個新的位置，我們仍使用同一坐标系來描述變換前和變換後的位置。
變換坐标，意味着物體上的點實際沒有移動，我們隻是在另外一個坐标系中描述它的位置而已。
其實這兩種變換實際上是等價的，将物體變換一個量等價于将坐标系變換一個相反的量。
ps:下面我們實作的變換都是物體變換
旋轉
2d中繞原點旋轉的參數隻有一個：角度θ，它描述了旋轉量。（逆時針旋轉經常被認為是正方向，順時針方向時負方向）
根據幾何知識我們可知旋轉矩陣應該為
在3d場景中，一般都是繞軸旋轉，并且在繞軸旋轉θ°時，必須知道哪個方向别認為“正”，哪個方向被認為“負”。
在左手坐标系中定義此方向的規則為左手規則
左手坐标系
從哪裡看
正方向
負方向
從軸的負端點向正端點看
逆時針
順時針
從軸的正端點向負端點看
繞軸變換中最為常見的就是繞坐标軸旋轉
x軸
可得到變換矩陣
同理得到y軸和z軸的變換公式
y軸
z軸
ps：對于任意軸的旋轉，可能等我們學完了平移，将任意軸平移旋轉至坐标軸變換後在移後即可。
縮放
通過比例因子k按比例變大或縮小來縮放物體。
如果在各方向應用同比例的縮放，且沿原點“擴張”物體，那麼就是均勻縮放。（均勻縮放可以保持物體的角度和比例不變）
如果需要擠壓或拉伸物體，在不同方向應用不同的因子即可，這稱作非均勻縮放。（非均勻縮放時，物體角度将發生變化）
ps：如果 |k|<1 ，物體将變短，如果 |k|>1，物體變長。如果 |k|=0，就是正交投影。
最簡單的縮放方法是沿着每個坐标軸應用單獨的縮放因子。
2d中有兩個縮放因子，
和
。縮放矩陣為：
縮放執行個體
對于3d，需要增加第三個縮放因子
，3d縮放矩陣：
正交投影（平行投影）（投影意味着降維操作）
有一種投影方法是在某個方向上用零作為縮放因子。這種情況下，所有點都被拉平至垂直的軸或平面上，這種投影稱作正交投影。
最簡單的投影方式是向坐标軸或平面投影。
在2d環境下，向 x 軸投影
在2d環境下，向 y 軸投影
在3d環境下，向 xy 平面投影、向xz平面投影和向yz平面投影的矩陣
正交投影效果圖
鏡像（反射）
鏡像是一種變換，起、其作用是将物體沿直線，或平面翻折。
ps：一個物體隻能鏡像一次，如果再次鏡像物體将翻回正面，這和在原位置旋轉物體的效果一樣了。
在2d環境下，沿任意軸鏡像的矩陣為
其中向量n為任意軸方向的機關向量，例如如果任意軸為x軸，則n=(1,0)，是以關于x軸的鏡像矩陣為
在3d環境下，沿任意軸鏡像的矩陣為
切變
切變是一種坐标系“扭曲”變換，非均勻地拉伸它。這是一種很少用到的變換，它也被稱作扭曲變換。
切變的時候角度會發生變化，但是令人驚奇的是面積和體積卻保持不變。
切變的基本實作思想是，某一坐标的乘積加到另一個坐标上去：x‘ = x + sy。
在2d環境下，x坐标根據坐标y以參數s控制切變方向和向量的切變矩陣
在2d環境下，y坐标根據坐标x以參數s控制切變方向和向量的切變矩陣
3d坐标中的切變矩陣兩個坐标軸别另一個坐标軸改變的矩陣
-end-
參考文獻：（1）《3d math primer for graphics and game development》
（2）百度百科