中國科學家證明凱勒幾何兩大核心猜想

中國科學技術大學幾何實體中心創始主任陳秀雄與合作者程經睿在偏微分方程和複幾何領域取得“裡程碑式結果”。他們解出了一個四階完全非線性橢圓方程，成功證明了“強制性猜想”和“測地穩定性猜想”這兩個國際數學界60多年懸而未決的核心猜想，解決了若幹有關凱勒流形上常标量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題。兩篇論文日前發表于《美國數學會雜志》。

凱勒流形上常标量曲率度量的存在性，是過去60多年來幾何研究的核心問題之一。關于其存在性，有三個著名猜想——穩定性猜想、強制性猜想和測地穩定性猜想。穩定性猜想限制在凱勒—愛因斯坦度量時稱為丘成桐猜想，由著名數學家丘成桐于20世紀90年代提出，并由陳秀雄、唐納森和孫崧率先解決。經過衆多數學家近20年的努力，強制性猜想和測地穩定性猜想中的必要性已變得非常清晰，但其充分性的證明在陳—程的工作之前被認為遙不可及。

求出一類四階完全非線性橢圓方程的解，就能證明常标量曲率度量的存在性。陳—程的工作恰恰就是在k—能量強制性或測地穩定性的假設下，證明了這類方程解的存在。這類方程的研究極為困難，此前，對此類方程幾乎沒有合适的處理工具。陳—程最重要的突破是給出了這類方程的先驗估計以及成功實作了陳秀雄提出的新的連續參數的政策。

專家認為，求解一類四階完全非線性橢圓方程，此前就如同一塊無形的幕牆擋在數學家面前，陳—程的工作就是在幕牆上“掏了一個洞”，在毫無征兆的情況下找到一個突破口，不僅求出了方程的解，而且建立了一套系統研究此類方程的方法，為探索未知的數學世界提供了一種新工具。

此外，他們還給出了環對稱凱勒流形上穩定性猜想的證明，将唐納森在環對稱凱勒曲面上的經典定理推廣到了高維，并對一般穩定性猜想的證明提出了可能的解決方案，讓一般穩定性猜想的完全解決成為可能。

相關論文資訊：

https://doi.org/10.1090/jams/967

https://doi.org/10.1090/jams/966

來源：中國科學報