中國科學家成功證明凱勒幾何兩大核心猜想

記者從中國科學技術大學獲悉，該校幾何實體中心創始主任陳秀雄教授與合作者程經睿在偏微分方程和複幾何領域取得“裡程碑式結果”，他們解出了一個四階完全非線性橢圓方程，成功證明“強制性猜想”和“測地穩定性猜想”這兩個國際數學界60多年懸而未決的核心猜想，解決了若幹有關凱勒流形上常标量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題。兩篇論文日前發表于國際著名刊物《美國數學會雜志》。

凱勒流形上常标量曲率度量的存在性，是過去60多年來幾何中的核心問題之一。關于其存在性，有三個著名猜想——穩定性猜想、強制性猜想和測地穩定性猜想。經過近20年衆多著名數學家的工作，強制性猜想和測地穩定性猜想中的必要性已變得完全清晰，但其充分性的證明在陳-程的工作之前被認為遙不可及，就如同不帶任何裝備攀登高峰一般艱難。

求出一類四階完全非線性橢圓方程的解，就能證明常标量曲率度量的存在性。陳-程的工作恰恰就是在k-能量強制性或測地穩定性的假設下，證明了這類方程解的存在。這類方程的研究極為困難，長期以來業内專家普遍不相信會有一個令人滿意的存在性理論。 以至于業内專家認為，求解一類四階完全非線性橢圓方程，此前就如同一塊無形的幕牆擋在數學家面前，陳-程的工作就是在幕牆上“掏了一個洞”，在毫無征兆的情況下找到一個突破口，不僅求出了方程的解，而且建立了一套系統研究此類方程的方法，為探索未知的數學世界提供了一種新工具。此外，他們還給出了環對稱凱勒流形上穩定性猜想的證明，将唐納森在環對稱凱勒曲面上的經典定理推廣到了高維，并對一般穩定性猜想的證明提出可能的解決方案，讓一般穩定性猜想的完全解決成為可能。

審稿人評價，“陳-程的突破性工作原創性極高、技術艱深，不僅解決了凱勒幾何中重大難題，也為此類非線性方程提供了深刻的洞見。可以預見，這一系列論文将成為幾何與偏微分方程領域的經典之作。”

文/科技日報記者 吳長鋒

攝影/北京青年報記者 範輝