最近，一個由計算機科學家和數學家組成的團隊，徹底解決了一個被稱為凱勒猜想的數學難題。凱勒猜想是一個已存在了90年之久的謎題，它與不同空間次元上的密鋪問題有關。
我們可以先從最簡單的二維情況開始。在二維空間中，用相同大小的正方形瓷磚進行密鋪時，是否總會出現兩塊瓷磚具有一整條共享的邊的情況？從圖形上不難看出，情況的确是這個樣子。
在二維空間中，用同等大小的正方形瓷磚密鋪時，黃色的邊表示的即是兩塊完全連結的瓷磚。
将這個問題從二維提升到三維空間，情況也是如此嗎？
不難看出，當用大小相同的立方體來完全填充一個空間時，必定有兩個立方體完全共享一個面的情況出現。
三維空間中用相同大小的立方體密鋪，會導緻兩個立方體共享一個面。| 圖檔參考來源：cs.cmu.edu
二維、三維的情況是我們尚可想象的空間，但是在更高的次元上，情況又是如何？1930年，德國數學家奧特-海因裡希·凱勒（Ott-Heinrich Keller）提出猜想，認為這種模式适用于任何次元。這便是凱勒猜想。
在那之後的幾十年裡，凱勒猜想取得了衆多進展。1940年，數學家Oskar Perron成功證明，凱勒猜想在六維以及更小的次元上是正确的。然而在1992年，Jeffrey Lagarias和Peter Shor的工作表明，當次元提高到十以及以上時，這個猜想便不再成立。到了2002年，John Mackey進一步将這個“不适用範圍”縮小到了八維空間，表明它在八個或八個以上的次元上便不再适用。如此一來，仍處于未知狀态的就是七維空間中的情況了。
從Perron到Lagarias和Shor，在數學家們向這個猜想發起挑戰的過程中，研究方法發生了重大變化。在Perron的年代，他依靠的是筆和紙來計算這種模式在前六個次元中的适用情況；到了1990年代，為了能讓強大的計算機加入這項挑戰，數學家Keresztély Corrádi和Sándor Szabó對這一猜想進行了重新表述，将它轉化成了一種完全不同的形式。
凱勒猜想原本涉及到的是光滑的連續空間，在這種空間裡，存在無窮多種方式來進行無窮多個瓷磚的密鋪，而這種無窮大是計算機并不擅長處理的問題。是以Corrádi和Szabó将猜想轉化成了某種涉及到離散的、有限的物體的問題來處理。這樣一種等價方法有效地将一個關于無窮大的問題，簡化成了關于幾個數字的算術問題，它所涉及到的一個基礎核心是一種被稱為凱勒圖的圖形。
簡單說來，凱勒圖是由具有特定點數的骰子，以及這些骰子之間的連線構成的。點數對應于維數，要判斷凱勒猜想在n維空間上是否正确，可以通過在凱勒圖上尋找是否存在2ⁿ個彼此之間互相連接配接的骰子組成的小集合，如果存在，那麼凱勒猜想在n維中就是不正确的。
以二維空間中的凱勒猜想為例，首先想象桌子上擺放着一些骰子，且對于每個骰子來說，朝上擺放的那一面的點數為2——這兩個點就對應于二維，它們的位置就代表着坐标系中的x軸和y軸。接着，分别用紅、綠、黑、白四種顔色任意地給每個點塗上顔色，并将紅和綠，黑和白設定為兩組“配對色”。
現在，當兩個骰子的相同位置的點有不同的顔色，而另一個位置的點的顔色不僅不同，且顔色配對（紅和綠，或者黑和白）時，就将這兩個骰子骰子用直線連接配接起來，如下圖中的第四種情況，就滿足用線連接配接的條件。
二維的凱勒圖中的骰子上有兩個點，如果兩個骰子上的點的顔色完全相同，意味着兩個瓷磚在空間中完全重合；如果兩個骰子既沒有共同顔色，也沒有配對色，意味着瓷磚部分重疊（一種密鋪問題中是不允許存在的情況）；如果兩個骰子有一位置上的顔色配對，另一個位置上的顔色相同，意味着兩塊瓷磚有一個共享面；當兩個骰子之間存在連接配接，代表着兩個瓷磚互相接觸，但彼此略微錯位。最後這種情況是在證明凱勒猜想時所要尋找的例子，它代表着那些互相接觸卻沒有共享面的瓷磚。| 圖檔參考來源：Samuel Velasco / Quanta Magazine
在凱勒圖中，每個骰子可被看成是凱勒猜想中的一塊瓷磚；骰子上的顔色可被看作是坐标，定義了瓷磚在空間中的位置；而骰子之間存在連接配接與否，可被看作是對兩個瓷磚的相對位置的描述。
二維空間的凱勒圖。| 圖檔參考來源：cs.cmu.edu
上圖所示的就是二維情況的凱勒圖，它由16個點數為2的骰子組成。就像前面已經提到的，這張圖能将凱勒猜想的證明，變成判斷能否找到4（即2²）個這樣的骰子形成一個完全彼此互相連接配接的小集合，如果能，那麼就證明凱勒猜想在二維空間中是錯誤的。
由4個骰子組成的完全彼此連接配接的小集合。| 圖檔參考來源：Quanta Magazine
但從二維凱勒圖上可以看出，這樣的小集合并不存在，是以凱勒猜想在二維空間中是正确的。
Corrádi和Szabó利用這種方法，用216個具有3個點的骰子證明了凱勒猜想适用于三維空間，在這種情況下，他們要尋找的反例是8（即2³）個互相連接配接的骰子。Mackey則通過找到256（即2⁸）個具有8個點的骰子的小集合，證明了凱勒猜想不适用于八維以及更高的次元。
要判斷七維空間是否适用于凱勒猜想，需要判斷能否找到128（即2⁷）個具有7個點的骰子的小集合。七維空間一直是個難點，這與它是的素數本質不無關系，這意味着它無法被分解成更低的次元。
終于，在新的研究中，數學家Joshua Brakensiek、Marijn Heule、Mackey以及David Narváez在40台計算機的幫助下解決了這個問題。計算機就給出的最終答案是：是的。這意味着，我們終于知道了凱勒猜想在最後一個次元上的适用情況，證明凱勒猜想在七維空間中仍然正确。而計算機提供的答案也遠不止一個簡單的結論，它還包括了一個大小為200Gb的證據來證明這個答案是正确的。
至此，凱勒猜想可被認為已被完全解決。
參考來源：
https://www.cs.cmu.edu/~mheule/Keller/
https://www.quantamagazine.org/computer-search-settles-90-year-old-math-problem-20200819/
https://mathworld.wolfram.com/KellersConjecture.html