機器之心報道
機器之心編輯部
審稿人評價稱：「陳 - 程的突破性工作原創性極高、技術艱深，不僅解決了凱勒幾何中重大難題，也為此類非線性方程提供了深刻的洞見。可以預見，這一系列論文必将成為幾何與偏微分方程領域的經典之作。」
剛剛，中國科學技術大學宣布，該校幾何實體中心創始主任陳秀雄教授與合作者程經睿在偏微分方程和複幾何領域取得「裡程碑式結果」，成功證明了兩個國際數學界 60 多年懸而未決的核心猜想。
幾何實體中心創始主任陳秀雄教授（中）與程經睿（左）。
具體來說，他們解出了一個四階完全非線性橢圓方程，解決了若幹有關凱勒流形上常标量曲率度量和卡拉比極值度量的著名問題，包括長期未決的強制性猜想和測地穩定性猜想，将對幾何和偏微分方程的研究産生重要的影響。兩篇論文日前發表于國際著名刊物《美國數學會雜志》。
英國皇家科學院院士、1986 年菲爾茲獎和首屆數學突破獎得主西蒙 · 唐納森爵士認為，他們的工作已經提供了衆多常标量曲率凱勒度量的新例子，毫無疑問将成為完全認識這個問題的基礎。
美國科學院院士布萊恩 · 勞森教授表示，陳和程最近的系列論文令人驚歎，誠為該領域裡一個實質性的突破。
他們解決了一個什麼問題？
在數學中，一個凱勒流形（Kähler manifold）是具有滿足一個可積性條件的酉結構（一個 U(n)- 結構）的流形。特别地，它是一個黎曼流形、複流形以及辛流形，這三個結構兩兩相容。凱勒流形上的常标量曲率度量的存在性是過去六十多年來幾何中的核心問題之一。關于其存在性，有三個著名的猜想——穩定性猜想、強制性猜想和測地穩定性猜想。
穩定性猜想限制在凱勒 - 愛因斯坦度量時稱為丘成桐猜想，由丘成桐于上世紀九十年代提出，并由陳秀雄、唐納森和孫崧率先解決。他們的證明得到了學界的首肯，他們也是以赢得了維布倫幾何獎（幾何和拓撲領域的最高獎項）。
強制性猜想和測地穩定性猜想中的必要性，經過最近二十多年衆多著名數學家的工作，已變得完全清晰。然而，其充分性的證明在陳 - 程的工作之前被認為是遙不可及的。
求出一類四階完全非線性橢圓方程的解，就能證明常标量曲率度量的存在性。陳 - 程的工作恰恰就是在 K - 能量強制性或測地穩定性的假設下，證明了這類方程解的存在。這類方程的研究極為困難，長期以來業内專家普遍不相信會有一個令人滿意的存在性理論。在陳 - 程的工作前，對此類方程幾乎沒有合适的處理工具。陳 - 程最重要的突破是給出了這類方程的先驗估計以及成功實作了陳秀雄教授提出的新的連續參數的政策。
專家認為，求解一類四階完全非線性橢圓方程，此前就如同一塊無形的幕牆擋在數學家面前，陳 - 程的工作就是在幕牆上「掏了一個洞」，在毫無征兆的情況下找到一個突破口，不僅求出了方程的解，而且建立了一套系統研究此類方程的方法，為探索未知的數學世界提供了一種新工具。
此外，陳 - 程的文章中還有許多其它突破性的結果。例如，他們給出了環對稱凱勒流形上穩定性猜想的證明，将唐納森在環對稱凱勒曲面上的經典定理推廣到了高維。關于一般穩定性猜想的證明，兩位作者在文章中提出了一系列深刻的問題和可能的解決方案。盡管還有諸多困難需要克服，專家們相信穩定性猜想的完全解決已成為可能。在文章的預印本公開後的兩年裡，已經出現了一系列重要進展。
合作者簡介
陳秀雄教授是中國科學技術大學「吳文俊講席教授」、國際著名幾何分析學家，2018 年成為上海科技大學數學科學研究所的創始所長。他 1987 年畢業于中科大數學系，随後就讀于中國科學院研究所學生院，獲碩士學位。1989 年由國家保送去美國賓夕法尼亞大學攻讀博士，師從著名幾何學家卡拉比(Calabi )，并獲美國國家科學基金資助。
陳秀雄教授近年來在偏微分方程和複幾何領域取得了一系列重要進展。他與西蒙 · 唐納森和孫崧合作證明的 Fano 流形上的穩定性猜想被學界視作自佩雷爾曼解決龐加萊猜測以來微分幾何領域最重大的突破。除了此次完成的重要成果外，他與王兵合作證明了法諾凱勒裡奇流極限的弱緊性, 繼而與孫崧和王兵合作證明了極限的唯一性，并給出了丘成桐猜想的一個基于凱勒裡奇流的新證明。
2019 年 1 月，美國數學會授予陳秀雄、西蒙 · 唐納森、孫崧奧斯瓦爾德 · 維布倫 (Oswald Veblen) 幾何獎，旨在表彰他們證明了 Fano 流形上一個長期懸而未決的猜想。6 月，西蒙斯基金會冠以陳秀雄 2019 年西蒙斯學者的稱号。同年 11 月，陳秀雄教授被紐約州立大學董事會授予首席教授頭銜。
值得一提的是，陳教授在育人方面的成果也非常顯著。上面提到的孫崧以及前段時間獲得青橙獎的陳杲都是陳教授的弟子。2015 年，陳秀雄與陳杲合作解決了 1977 年霍金提出的「引力瞬子」問題。2021 年 2 月，陳杲的論文《J 方程和超臨界厄米特 - 楊振甯 - 米爾斯方程的變形》發表于數學界四大最高雜志之一《數學新進展》，引發國際數學界關注，被美國科學院院士勞森等第一時間引用。
本次陳教授的合作者程經睿大學畢業于清華大學，2018 年在美國威斯康星大學麥迪遜分校獲數學博士學位，現為紐約州立大學石溪分校數學系助理教授。程經睿在完成這項工作時博士尚未畢業， 其研究潛力可見一斑。
論文連結：
https://www.ams.org/journals/jams/2021-34-04/S0894-0347-2021-00967-0/home.html
https://www.ams.org/journals/jams/2021-34-04/S0894-0347-2021-00966-9/home.html
http://news.ustc.edu.cn/info/1048/77323.htm
https://mp.weixin.qq.com/s/jVIZkKmv_PhL8a9bm_yiuw