根據一張湖上落日的照片，普林斯頻大學範德北教授（Robert J. Vanderbei）證明了地球是圓的，并且給出了地球的半徑。
撰文 | 姬揚（中國科學院半導體研究所）、高國強（哈爾濱工業大學（威海））
知道某件東西可以做出來，就是最大的提示。隻要知道某件東西可以做出來，即使不知道它到底是怎麼做的，很多人就可以把它做出來。在科學發展的曆史上，這樣的事情屢見不鮮。
比如，伽利略發明望遠鏡。其實，伽利略并不是發明望遠鏡的第一人。1609年5月， 伽利略偶然聽說，荷蘭有人發明了一種“幻鏡”，能夠看到遠處的風景。他沒有參觀或購買這種“幻鏡”，而是自己動手，用了不到 3 個月的時間，仿造了兩架儀器，并用它仰視星空。他觀測到了月球的高地和環形山投下的陰影，發現了太陽黑子，還發現了木星的4個最大的衛星。借助于望遠鏡，伽利略還先後發現了土星光環、太陽的自轉、金星和水星的盈虧現象、月球的周日和周月天平動，以及銀河是由無數恒星組成，等等。
下面這個例子發生在現代。
2008年7月5日，在密執安湖湖邊，普林斯頓大學的範德北教授（Robert J. Vanderbei）拍攝了一張夕陽照片，太陽即将落入地平線以下，在湖面上留下了倒影。範德北教授認識到，利用這張照片，再加上一些中學的實體和數學知識，就可以證明地球是圓的，還可以得到地球的半徑。
圖1 美國密執安湖上的夕陽。普林斯頓大學的範德北教授在2008年7月5日拍攝。
01
基本知識
這裡需要的實體知識是：光沿直線傳播；光被鏡子反射的時候，入射角等于反射角。
這裡需要的數學知識是：勾股定理，兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方；三角形的正弦定理，即三角形的邊長與對角的正弦成正比。
要點在這裡：水面就像鏡子一樣是平的，可以反射太陽光。但是，鏡子或者水面的“平”是局部的平，而地球表面是彎曲的，你和我站在兩個不同的地方，你的“平”在我這裡就是“斜”了。對于平行入射的太陽光來說，不同地方的水面相對于太陽光的傾角是不同的。
這個分析很直接，但是有些繁瑣。下面我們把分析過程詳細地寫出來，讓《中學生數理化（國中版）》的讀者也能懂。我們建議讀者先試着自己推導，如果遇到困難，再回來看我們的解釋。我們當初也是隻知道結論，就自己推導出來了。這個問題的難度不在于推導，而在于認識到，這張圖檔包含了結論所需的全部資訊。
02
模型和推導
我們分析的示意圖（圖2）跟範德北教授的類似，隻是為了詳細說明，用一些新的符号做了标注，分析的過程也略有不同。具體說明如下:
圖2 湖上落日照片的分析示意圖。
03
資料分析
範德北教授對照片進行了資料分析（圖3）：太陽的直徑是317個像素，地平線上的太陽高度
圖3 範德北教授對湖面夕陽的資料分析。
可以得到地球的半徑為
度了。但是，這有些過于精确了，這個簡單的模型沒必要這麼精确吧？
04
讨論
簡而言之，地球很大，要想知道它是不是圓的，甚至測量它的半徑，需要跑得很遠才行。
但是，普林斯頓大學的範德北教授認識到，隻需要在海邊（或者很大的湖也可以）拍一張日出或日落的照片，就可以證明地球是圓的，還可以得到地球的半徑。而且這裡的道理很簡單，中學生也可以了解一一困難在于，你首先要認識到，根據這張照片就可以得到所有這些資訊。
事後看來，這個分析很簡單，但是第一個認識到真相的人，還是很了不起的，關鍵他認真想了。可能以前也有人想過了，甚至寫出來了。重要的事情總是會被發現很多次的。
一方面，太陽底下沒有新鮮事；另一方面，新概念、新方法和新的測量儀器帶來了新的認識，深入思考天天看到“理所當然”的現象，有時候也會有收獲。
人們很早就應該能認識到地球是圓的，但總是差了一點兒。
比如說，在春秋戰國時代，我們就知道: “孔子登東山而小魯，登泰山而小天下” (《孟子・盡心上》) ; “吾嘗跂而望矣，不如登高之博見也” (《荀子・勸學》)。現在看起來，這後面的是顯然的：登高則視野廣闊，因為地平線後退了。當然，這隻是定性的認識，而孟子和荀子也沒有推斷出地球是圓的。
定量的也有。在《論衡・說日》篇裡，東漢時期的王充說：“試使一人把大炬火夜行于道，平易無險，去人十裡，火光滅矣。”在平原上，一個人拿着火把在夜裡行走，他走出大概十裡之外，你就看不到火把了。這裡有了“十裡”這個定量的資料，而火把離地面的高度大概也就一兩米，由此推算出地球的直徑大約是幾萬裡。可惜的是，王充卻認識不到這一點，而是把這個作為“蓋天說”的證據，反駁（我們現在看起來更有道理的）“渾天說”。
當然，很早就有人猜地球是圓的，比如中國古代的慎子和張衡，古希臘的畢達哥拉斯和亞裡士多德。據說，在公元前 3 世紀，古希臘天文學家埃拉托色尼根據正午射向地球的太陽光和兩觀測地的距離，首次算出地球的周長。公元726年，唐代天文學家一行禅師主持了全國天文大地測量，利用北極高度和夏天的日長，計算出了子午線一度之長和地球的周長。
這篇文章也許還可以回答一個常見的問題：教科書為什麼不能寫得詳細一些? 答案是, 可以寫得更詳細，但是書就變得太厚了。
關于湖邊落日的分析，還有很多因素和細節沒有考慮。請思考一下，它們會怎樣影響分析的結果呢?
比如說，如果在同一天，在世界各地拍這樣的照片，得到的結果會不一樣；即使在同一個地方，在不同的日子拍這樣的照片，結果也會不一樣。因為地球繞着太陽轉（在黃道面上），而且地球的自轉軸并不垂直于黃道面。是以，如果在同一個地方拍很多天的照片，或者在同一天在很多地方拍照片，都能得到很多資訊，包括而不限于：地球是圓的，地球的半徑，自轉軸相對于黃道面的央角，照片拍掫地的緯度，等等。
當然，你可能還會認識到，這跟日晷也有相似之處啊。堅個杆子看日影，同一個地方觀察一年，或者同一天記錄很多地方，也能得到這樣的資訊。古代人沒有照相機，但是他們也會觀察，也會思考。
05
打油詩一首
這回書，有分教：
傍晚湖邊散步，忽然靈光閃現，
天上有個太陽，水面反射影像。
由此可以知道，大地是個圓球，
利用幾何知識，得到地球半徑。
參考文獻
[1] Robert J. Vanderbei, The earth is not flat: An analysis of a sunset photo, Optics & Photonics News (OPN), 34-39, November 2008.
[2] https://vanderbei.princeton.edu/FRS_131/lectures/lec3.pdf
本文受科普中國·星空計劃項目扶持
出品：中國科協科普部
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