MATLAB 非線性規劃

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本文目錄

• 什麼是非線性規劃問題
• 如何使用 MATLAB 解決非線性規劃問題

什麼是非線性規劃問題

非線性規劃問題仍是規劃問題的一種，但是目标函數和限制條件不再是線性的，而是存在非線性的部分，如指數函數、對數函數、三角函數等。

如何使用 MATLAB 解決非線性規劃問題

常見的非線性規劃問題通常類似于以下形式：

min ⁡ f ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 8 \begin{equation} \min \quad f(x)=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+8 \end{equation} minf(x)=x12​+x22​+x32​+8​​

 s.t.  { x 1 2 − x 2 + x 3 2 ≥ 0 x 1 + x 2 2 + x 3 3 ≤ 20 − x 1 − x 2 2 + 2 = 0 x 2 + 2 x 3 2 = 3 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 \begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} x_{1}^2-x_{2}+x_{3}^2 \geq 0 \\ x_{1}+x_{2}^2+x_{3}^3 \leq 20 \\ -x_{1}-x_{2}^2+2 = 0 \\ x_{2}+2x_{3}^2 = 3 \\ x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}  s.t. ⎩ ⎨ ⎧​x12​−x2​+x32​≥0x1​+x22​+x33​≤20−x1​−x22​+2=0x2​+2x32​=3x1​,x2​,x3​≥0​​​

其中，公式1為目标函數，公式2為限制條件。

對于非線性規劃問題，MATLAB 提供了

fmincon

函數來解決，其基本文法為：

其中，

fun

為目标函數，

x0

為初始值，

A

為線性不等式限制的系數矩陣，

b

為線性不等式限制的右端項，

Aeq

為線性等式限制的系數矩陣，

beq

為線性等式限制的右端項，

lb

為變量的下界，

ub

為變量的上界，

nonlcon

為非線性限制函數。

MATLAB 中的非線性規劃問題的标準形式為：

min ⁡ x f ( x )  such that  { c ( x ) ≤ 0 , c e q ( x ) = 0 , A ⋅ x ≤ b , A e q ⋅ x = b e q , l b ≤ x ≤ u b \min _{x} f(x) \text { such that } \left\{ \begin{array}{c} c(x) \leq 0, \\ ceq(x) = 0, \\ A \cdot x \leq b, \\ { Aeq } \cdot x={ beq }, \\ l b \leq x \leq u b \end{array} \right. xmin​f(x) such that ⎩ ⎨ ⎧​c(x)≤0,ceq(x)=0,A⋅x≤b,Aeq⋅x=beq,lb≤x≤ub​

其中，

c(x)

為非線性不等式限制，

ceq(x)

為非線性等式限制。

是以要使用

fmincon

函數，需要先将非線性規劃問題轉為标準形式：

min ⁡ f ( x ) = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + 8 \begin{equation} \min \quad f(x)=x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+8 \end{equation} minf(x)=x12​+x22​+x32​+8​​

 s.t.  { − x 1 2 + x 2 − x 3 2 ≤ 0 x 1 + x 2 2 + x 3 3 − 20 ≤ 0 x 1 + x 2 2 − 2 = 0 x 2 + 2 x 3 2 − 3 = 0 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0 \begin{equation} \text { s.t. } \left\{ \begin{array}{c} -x_{1}^2+x_{2}-x_{3}^2 \leq 0 \\ x_{1}+x_{2}^2+x_{3}^3-20 \leq 0 \\ x_{1}+x_{2}^2-2 = 0 \\ x_{2}+2x_{3}^2-3 = 0 \\ x_{1}, x_{2}, x_{3} \geq 0 \end{array} \right. \end{equation}  s.t. ⎩ ⎨ ⎧​−x12​+x2​−x32​≤0x1​+x22​+x33​−20≤0x1​+x22​−2=0x2​+2x32​−3=0x1​,x2​,x3​≥0​​​

這裡沒有線性限制條件，是以

A

和

b

為空矩陣。

接下來，将目标函數和非線性限制條件分别寫成函數形式：

function f = objfun(x)
f = x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 + 8;
end
           

function [c,ceq] = nonlcon(x)
c = [-x(1)^2 + x(2) - x(3)^2; x(1) + x(2)^2 + x(3)^3 - 20];
ceq = [x(1) + x(2)^2 - 2; x(2) + 2*x(3)^2 - 3];
end
           

将函數分别儲存到

objfun.m

和

nonlcon.m

檔案中。

最後，使用

fmincon

函數求解：

[x,fval] = fmincon(@objfun,[0 0 0],[],[],[],[],[0 0 0],[],@nonlcon)
% 或
[x,fval] = fmincon('objfun',[0 0 0],[],[],[],[],[0 0 0],[],'nonlcon')
           

通過修改

x0

的值，可以改變疊代過程，但是最終的解是相同的。

本題的解為：

x =
    0.5522    1.2033    0.9478

fval =
    10.6511