平面中用到的公式（點到平面的距離、平面上的最近點）

點到平面的距離

    設想一個平面和一個不在平面上的點qv（後面加v表示向量）。平面上存在一個點pv，它到qv的距離最短。很明顯，從pv到qv的向量垂直于平面，且形式為a▪nv（就是說這個向量差與平面法矢平行，因為nv是機關向量，是以其長度就是a）。

    假設nv為機關向量，那麼pv到qv的距離（也就是qv到平面的距離）就是a了。（如果qv在平面的反面，這個距離為負。）令人驚奇的是，不用知道pv的位置就能計算出a。讓我們來回顧qv的定義，并做一些向量計算來消除pv。

    pv  + a▪nv = qv

   (pv + a▪nv)▪nv = qv ▪ nv

   pv ▪ nv + a = qv ▪ nv

   d + a = qv ▪ nv

   a = qv ▪ nv - d

平面上的投影點

    考慮平面pv，其定義為标準的隐式：滿足pv ▪ nv = d的點的幾何。給定一個點qv，我們想要找到點qv’，它是qv在平面上的投影，就是平面上離qv最近的點

    上面我們已經知道了如何計算點到平面的投影距離。為了計算qv’，隻要在nv的方向上移動一段距離

    qv’ = qv -  a▪nv  = qv + (d - qv ▪ nv) ▪ nv;