一：空間直角坐标系

一：空間直角坐标系

空間直角坐标系的坐标原點位于參考橢球的中心，Z軸指向參考橢球的北極，X軸指向起始子午面與赤道的交點，

Y軸位于赤道面上切按右手系于X軸呈90度夾角，某點中的坐标可用該點在此坐标系的各個坐标軸上的投影來表示。

空間直角坐标系可用如下圖所示：

二：大地坐标系：

大地坐标系是采用大地緯度、經度和大地高程來描述空間位置的。緯度是空間的點與參考橢球面的法線與赤道面的夾角；經度是空間的點與參考橢球的自轉軸所在的面與參考橢球的起始子午面的夾角；大地高是空間的點沿着參考橢球的法線方向到參考橢球面的距離。

附：經度和緯度的詳細概念，呵呵。

經度和緯度都是一種角度。經度是個面面角，是兩個經線平面的夾角。因所有經線都是一樣長，為了度量經度選取一個起點面，經1884年國際會議協商，決定以通過英國倫敦近郊、泰晤士河南岸的格林尼治皇家天文台（舊址）的一台主要子午儀十字絲的那條經線為起始經線，稱為本初子午線。本初子午線平面是起點面，終點面是本地經線平面。某一點的經度，就是該點所在的經線平面與本初子午線平面間的夾角。在赤道上度量，自本初子午線平面作為起點面，分别往東往西度量，往東量值稱為東經度，往西量值稱為西經度。由此可見，一地的經度是該地對于本初子午線的方向和角距離。本初子午線是0°經度，東經度的最大值為180°，西經度的最大值為180°，東、西經180°經線是同一根經線，是以不分東經或西經，而統稱180°經線。

緯度是個線面角。起點面是赤道平面，線是本地的地面法線。所謂法線，即垂直于參考扁球體表面的線。某地的緯度就是該地的法線與赤道平面之間的夾角。緯度在本地經線上

三：平面坐标系（這裡主要将gis中高斯－克呂格爾平面直角坐标系，不是數學裡面的平面坐标系）

高斯－克呂格爾平面直角坐标系 Gauss-Krüger plane rectangular coordinates system

　　根據高斯-克呂格爾投影所建立的平面坐标系,或簡稱高斯平面坐标系。它是大地測量、城市測量、普通測量、各種工程測量和地圖制圖中廣泛采用的一種平面坐标系。

　　高斯-克呂格爾投影是德國的 C.F.高斯于1822年提出的，後經德國的克呂格爾(J.H.L.Krüger)于1912年加以擴充而完善。

　　用大地經度和緯度表示的大地坐标是一種橢球面上的坐标，不能直接應用于測圖。是以，需要将它們按一定的數學規律轉換為平面直角坐标。大地坐标(B，L)轉換為平面直角坐标(X,Y)的一般數學表示法為：X=F1(B,L), Y=F2(B,L), 式中F1、F2為投影函數。高斯－克呂格爾投影的投影函數是根據以下兩個條件确定的：第一,投影是正形的,即橢球面上無窮小的圖形和它在平面上的表象相似，故又稱保角投影或保形投影；投影面上任一點的長度比（該點在橢球面上的微分距離與其在平面上相應的微分距離之比）同方位無關。第二，橢球面上某一子午線在投影平面上的表象是一直線，而且長度保持不變，即長度比等于1。該子午線稱為中央子午線,或稱軸子午線。這兩個條件展現了高斯-克呂格爾投影的特性。

大地坐标系是大地測量的基本坐标系。常用于大地問題的細算，研究地球形狀和大小，編制地圖，火箭和衛星發射及軍事方面的定位及運算，若将其直接用于工程建設規劃、設計、施工等很不友善。是以要将球面上的大地坐标按一定數學法則歸算到平面上，即采用地圖投影的理論繪制地形圖，才能用于規劃建設。

橢球體面是一個不可直接展開的曲面，故将橢球體面上的元素按一定條件投影到平面上，總會産生變形。測量上常以投影變形不影響工程要求為條件選擇投影方法。地圖投影有等角投影、等面積投影和任意投影三種。

其中等角投影又稱為正形投影，它保證在橢球體面上的微分圖形投影到平面後将保持相似。這是地形圖的基本要求。正形投影有兩個基本條件：

①保角條件，即投影後角度大小不變。

②長度變形固定性，即長度投影後會變形，但是在一點上各個方向的微分線段變形比m是個常數k：

式中：ds—投影後的長度，dS—球面上的長度。

1.高斯投影的概念

高斯是德國傑出的數學家、測量學家。高斯-克呂格爾投影是德國的 C.F.高斯于1822年提出的，後經德國的克呂格爾(J.H.L.Krüger)于1912年加以擴充而完善。他提出的橫橢圓柱投影是一種正形投影。它是将一個橫橢圓柱套在地球橢球體上，如下圖所示：

1.gif

橢球體中心O在橢圓柱中心軸上，橢球體南北極與橢圓柱相切，并使某一子午線與橢圓柱相切。此子午線稱中央子午線。然後将橢球體面上的點、線按正形投影條件投影到橢圓柱上，再沿橢圓柱N、S點母線割開，并展成平面，即成為高斯投影平面。在此平面上：

①中央子午線是直線，其長度不變形，離開中央子午線的其他子午線是弧形，凹向中央子午線。離開中央子午線越遠，變形越大。

②投影後赤道是一條直線，赤道與中央子午線保持正交。

③離開赤道的緯線是弧線，凸向赤道。

高斯投影可以将橢球面變成平面，但是離開中央子午線越遠變形越大，這種變形将會影響測圖和施工精度。為了對長度變形加以控制，測量中采用了限制投影寬度的方法，即将投影區域限制在靠近中央子午線的兩側狹長地帶。這種方法稱為分帶投影。投影帶寬度是以相鄰兩個子午線的經差來劃分。有6°帶、3°帶等不同投影方法。

6°帶投影是從英國格林尼治子午線開始，自西向東，每隔6°投影一次。這樣将橢球分成60個帶，編号為1～60帶，如下圖所示：

2.jpg

各帶中央子午線經度(L)可用下式計算：

式中n為6°帶的帶号。

已知某點大地經度L，可按下式計算該點所屬的帶号：

有餘數時，為n的整數商+1。

3°帶是在6°帶基礎上劃分的，其中央子午線在奇數帶時與6°帶中央子午線重合，每隔3°為一帶，共120帶，各帶中央子午線經度(L)為：

式中n′為3°帶的帶号。

我國幅員遼闊，含有11個6°帶，即從13～23帶(中央子午線從75°～135°)，21個3°帶，從25～45帶。北京位于6°帶的第20帶，中央子午線經度為117°。

2.高斯平面直角坐标系Gauss-Krüger plane rectangular coordinates system

根據高斯-克呂格爾投影所建立的平面坐标系,或簡稱高斯平面坐标系。它是大地測量、城市測量、普通測量、各種工程測量和地圖制圖中廣泛采用的一種平面坐标系。

　　用大地經度和緯度表示的大地坐标是一種橢球面上的坐标，不能直接應用于測圖。是以，需要将它們按一定的數學規律轉換為平面直角坐标。大地坐标(B，L)轉換為平面直角坐标(X,Y)的一般數學表示法為：X=F1(B,L), Y=F2(B,L), 式中F1、F2為投影函數。高斯－克呂格爾投影的投影函數是根據以下兩個條件确定的：第一,投影是正形的,即橢球面上無窮小的圖形和它在平面上的表象相似，故又稱保角投影或保形投影；投影面上任一點的長度比（該點在橢球面上的微分距離與其在平面上相應的微分距離之比）同方位無關。第二，橢球面上某一子午線在投影平面上的表象是一直線，而且長度保持不變，即長度比等于1。該子午線稱為中央子午線,或稱軸子午線。這兩個條件展現了高斯-克呂格爾投影的特性。

根據高斯投影的特點，以赤道和中央子午線的交點為坐标原點。，中央子午線方向為x軸，北方向為正。赤道投影線為y軸，東方向為正。象限按順時針Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ排列，如下圖所示：

3.gif

在同一投影帶内y值有正有負。這對計算和使用很不友善。為了使y值都為正，将縱坐标軸西移500km，并在y坐标前面冠以帶号，如在第20帶，中央子午線以西P點：

4.jpg

在20帶中高斯直角坐标為：

5.jpg

高斯直角坐标系與數學中的笛卡爾坐标系不同，如下圖所示：

6.gif

高斯直角坐标系縱坐标為x軸，橫坐标為y軸。坐标象限為順時針劃分四個象限。角度起算是從x軸的北方向開始，順時針計算。這些定義都與數學中的定義不同。這樣的做法是為了将數學上的三角和解析幾何公式直接用到測量的計算上。

　　中國于50年代正式決定在大地測量和國家地形圖中采用高斯-克呂格爾平面直角坐标系。

　　中國除了天文大地網平差采用橢球面上的大地坐标之外，高斯平面直角坐标系被廣泛應用于其他各等大地控制網的平差和計算中。為此，一般先将橢球面上的方向、角度、長度等觀測元素經方向改化和距離改化，歸化為相應的平面觀測值，然後在平面上進行平差和計算，這要比直接在地球橢球面上進行簡單得多。

　　大地坐标、大地線長度和大地方位角與高斯平面上相應的直角坐标，平面邊長和坐标方位角之間的互相換算工作，一般是借助于專門的計算用表進行，或者直接在電子計算機上進行。

　　通用橫軸墨卡托投影　高斯－克呂格爾投影的一種變體，簡稱UTM投影。它同高斯-克呂格爾投影的差别僅在于中央子午線的長度比不是1，而是0.9996。UTM投影帶中的兩條标準線在中央子午線東、西各約 180公裡處，這兩條标準線上沒有任何變形，離開這兩條線愈遠變形愈大。在這兩條線之内長度縮小，兩線之外長度放大。UTM投影應用比較廣泛，目前世界上已有100多個國家和地區采用這種投影作為南緯80°至北緯84°的地區中測制地形圖的數學基礎。