Codeforces-1486 E. Paired Payment（多元最短路）

題意：

無向圖，但是一次至少走兩步，權值為兩個邊邊權和的平方。求1到其他每個點的最短距離。

思路：

• 直覺的想法是重構圖，将所有的兩步變成一個邊。但是這樣很容易想到，如果某些點存在很多出邊，就可以構成很多的兩步邊，這樣複雜度不可接受。
• 觀察可知，這裡的邊權很小，很适合作為一維狀态。因為要兩條邊才能計算一次距離，是以定義 d i s [ x ] [ w ] [ o d d ] dis[x][w][odd] dis[x][w][odd]代表起點走到 x x x，上一條邊權值為 w w w，已經走過邊數的是否為奇數 o d d odd odd。這樣當從奇數步數轉移到偶數步數時，就可以通過之前記錄的邊權 w w w來計算權值。
• 這相當于多元最短路，用 d i j k s t r a dijkstra dijkstra寫一下就 o k ok ok了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <queue>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 7;
ll dis[maxn][51][2];
vector<pair<int,int> >G[maxn];
bool vis[maxn][51][2];
struct Node {
    int id,w,odd;
    ll v;
    bool operator < (const Node&rhs) const {
//        if(odd == rhs.odd)
            return v > rhs.v;
//        return odd < rhs.odd;
    }
};
void dij() {
    priority_queue<Node>q;
    q.push({1,0,0,0});
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[1][0][0] = 0;
    while(!q.empty()) {
        Node now = q.top();q.pop();
        if(vis[now.id][now.w][now.odd]) continue;
        vis[now.id][now.w][now.odd] = true;
        int x = now.id;
        for(int i = 0;i < G[x].size();i++) {
            int v = G[x][i].first,w = G[x][i].second;
            ll cost = 0;
            
            if(now.odd == 1) {
                cost = (now.w + w) * (now.w + w);
            }
            if(dis[v][w][now.odd ^ 1] > dis[x][now.w][now.odd] + cost) {
                dis[v][w][now.odd ^ 1] = dis[x][now.w][now.odd] + cost;
                q.push({v,w,now.odd ^ 1,dis[v][w][now.odd ^ 1]});
            }
        }
    }
}
int main() {
    int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i <= m;i++) {
        int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        G[x].push_back({y,z});
        G[y].push_back({x,z});
    }
    dij();
//    printf("%lld %lld\n",dis[2][2][0],dis[1][3][1]);
    for(int i = 1;i <= n;i++) {
        ll cost = 1e18;
        for(int j = 0;j <= 50;j++) {
            cost = min(cost,dis[i][j][0]);
        }
        if(cost == 1e18) printf("-1 ");
        else printf("%lld ",cost);
    }
    return 0;
}