1、複信号的表示
實際信号隻存在實信号，不存在複信号。
那麼什麼時候用實信号？什麼時候用複信号呢？
—實際信号的傳輸總是用實信号，而在信号進行中則用複信号。
實信号如何轉換為複信号
采用複信号表示法不僅可以節省頻帶資源，同時友善計算，而且由于複信号的實部和虛部正好與接收機中的同相支路（I）和正交支路（Q）相對應，是以在系統中采用複信号表示法。
補充了解：
低通（LP）信号：信号包含的主要頻率處于包括直流（DC）在内的低頻頻帶；
帶通（BP）信号：信号包含的主要頻率處于離開原點的某個頻率附近。
一個實帶通信号 s ( t ) s(t) s(t)在數學上可以表示為：
s ( t ) = r ( t ) c o s [ 2 π f 0 t + ϕ x ( t ) ] s(t)=r(t)cos[2πf_0t+\phi_x(t)] s(t)=r(t)cos[2πf0t+ϕx(t)]
其中， r ( t ) r(t) r(t)是幅度調制或包絡， ϕ x ( t ) \phi_x(t) ϕx(t)為相位調制，調制頻率為 f m ( t ) = 1 2 π d ϕ x ( t ) d t f_m(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\mathrm{d}\phi_x(t)}{\mathrm{d}t} fm(t)=2π1dtdϕx(t)， f 0 ( t ) f_0(t) f0(t)是載波頻率。
s ( t ) s(t) s(t)也可以用兩個稱為正交分量的低通信号表示：
s ( t ) = I ( t ) c o s 2 π f 0 t − Q ( t ) s i n 2 π f 0 t s(t)=I(t)cos2πf_0t-Q(t)sin2πf_0t s(t)=I(t)cos2πf0t−Q(t)sin2πf0t
其中， I ( t ) = r ( t ) c o s ϕ x ( t ) I(t)=r(t)cos\phi_x(t) I(t)=r(t)cosϕx(t)， Q ( t ) = r ( t ) s i n ϕ x ( t ) Q(t)=r(t)sin\phi_x(t) Q(t)=r(t)sinϕx(t)
- 發射機所發射的信号形态-【正交上變頻系統】： 其中 I ( t ) I(t) I(t)與 Q ( t ) Q(t) Q(t)是正交基帶信号， I ( t ) I(t) I(t)為信号同相部分(In-phase)， Q ( t ) Q(t) Q(t)為信号正交部分(quadrature)，數字正交上變頻系統的輸出 s ( t ) s(t) s(t)包含了信号的同相部分和正交部分，即包含了信号的幅度資訊和相位資訊，便于後續的信号處理。
【陣列信号處理02--基本概念、窄帶信号、均勻線陣接收模型】 - 接收機所接收的信号形态-【正交下變頻系統】：
【陣列信号處理02--基本概念、窄帶信号、均勻線陣接收模型】
2、基本概念補充
2.1 載波：在通信技術上，載波(carrier wave, carrier signal或carrier)是由振蕩器産生并在通訊信道上傳輸的電波，載波或者載頻(載波頻率)是一個實體概念，是一個特定頻率的無線電波，機關是Hz，是一種在頻率、幅度或相位方面被調制以傳輸語言、音頻、圖象或其它信号的電磁波。載波頻率通常比輸入信号的頻率高，屬于高頻信号，輸入信号調制到一個高頻載波上，就好像搭乘了一列高鐵或一架飛機一樣，然後再被發射和接收。是以，載波是傳送資訊(話音和資料)的實體基礎和承載工具。
2.2 調制(modulation)：對信号源的資訊進行處理加到載波上，使其變為适合于信道傳輸的形式，就是使載波随信号而改變的技術。
2.3 零中頻：将載頻變頻為零。正交下變頻得到的就是零中頻信号。
傳統的調制解調方式是無線電信号RF(射頻)進入天線，轉換為IF(中頻)，再轉換為基帶(I、Q信号)；
零中頻就是信号直接由RF變到基帶，不經過中頻的調制解調方法。
2.4 平面波（plane wave）：傳播時波面（即波的等相面）為平面的電磁波，實際中并不存在平面波。
2.5 相幹時間：信道保持恒定的最大時間差範圍，發射端的同一信号在相幹時間之内到達接收端，信号的衰落特性完全相似，接收端認為是一個信号。
2.6 相幹帶寬：表征多徑信道特性的一個重要參數，是指某一特定的頻率範圍，在該頻率範圍内的任意兩個頻率分量都具有很強的幅度相關性，即在相幹帶寬範圍内，多徑信道具有恒定的增益和線性相位。
通常，相幹帶寬近似等于最大多徑時延的倒數.
3、窄帶信号的定義
根據信号帶寬的不同，可将信号分為窄帶信号和寬帶信号。窄帶信号與寬帶信号的定義是相對的，沒有一個非常嚴格的界限，一般認為不符合窄帶信号條件的就是寬帶信号。根據側重内容不同，窄帶信号由如下三種定義，滿足其中之一，就可視為是窄帶信号，否則為寬帶信号。
假設信号為 s ( t ) s(t) s(t)，其所對應的頻譜為 S ( f ) S(f) S(f)
-
定義1：相對帶寬定義
W B / f 0 < 1 / 10 W_B/f_0<1/10 WB/f0<1/10
其中， W B W_B WB為信号帶寬， f 0 f_0 f0為信号的中心頻率:
W B = ∫ − ∞ ∞ f ∣ S ( f ) ∣ 2 d f ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( f ) ∣ 2 d f W_B=\sqrt{\frac{ \int_{-\infty}^{\infty} f{\left|S(f)\right|}^2\, df}{\int_{-\infty}^{\infty} {\left|S(f)\right|}^2\, df}} WB=∫−∞∞∣S(f)∣2df∫−∞∞f∣S(f)∣2df
f 0 = ∫ − ∞ ∞ f ∣ S ( f ) ∣ 2 d f ∫ − ∞ ∞ ∣ S ( f ) ∣ 2 d f f_0=\frac{ \int_{-\infty}^{\infty} f{\left|S(f)\right|}^2\, df}{\int_{-\infty}^{\infty} {\left|S(f)\right|}^2\, df} f0=∫−∞∞∣S(f)∣2df∫−∞∞f∣S(f)∣2df
定義1是指，窄帶信号的帶寬 W B W_B WB與其中心頻率 f 0 f_0 f0相比可以忽略。
-
定義2：相對陣列定義
( M − 1 ) d c ≪ 1 W B \frac{(M-1)d}{c} \ll \frac{1}{W_B} c(M−1)d≪WB1
其中， M M M為陣元數目， d d d為陣元間距， c c c為信号在媒介中的傳播速度。
定義2是指，在陣列信号進行中，窄帶信号掠過陣列孔徑的最大傳播時間遠遠小于信号帶寬的倒數。
-
定義3：相對速度定義
2 V d c ≪ 1 T ⋅ W B \frac{2V_d}{c}\ll\frac{1}{T\cdot W_B} c2Vd≪T⋅WB1
其中， V d V_d Vd是信号相對于陣列的徑向運動速度， T T T為信号的有效時寬：
T = ∫ − ∞ ∞ t 2 ∣ s ( t ) ∣ 2 d t ∫ − ∞ ∞ ∣ s ( t ) ∣ 2 d t T=\sqrt{\frac{ \int_{-\infty}^{\infty} t^2{\left|s(t)\right|}^2\, dt}{\int_{-\infty}^{\infty} {\left|s(t)\right|}^2\, dt}} T=∫−∞∞∣s(t)∣2dt∫−∞∞t2∣s(t)∣2dt
T ⋅ W B T\cdot W_B T⋅WB是信号的時寬帶寬積。
定義3是指，在信号與陣列存在相對運動的系統中，在信号的持續時間 T T T内相對于信号的距離分辨力，若目标沒有明顯的移動，即目标為慢起伏的，則信号可視為是窄帶的，否則為寬帶的。
4、均勻線陣接收模型
假設接收信号滿足窄帶條件，根據窄帶信号定義2，即信号經過陣列長度所需要的時間應遠遠小于信号的相幹時間，信号包絡在天線陣傳播時間内變化不大，即可認為 s ( t + Δ τ ) = s ( t ) s(t+\Delta\tau) =s(t) s(t+Δτ)=s(t)。為簡化，假定信源和天線陣列在同一平面内，并且入射到天線陣為平面波，如圖所示
其中， θ \theta θ為來波方向， d d d為陣元間距.
一般要求 d ≤ λ 2 d\leq\frac{\lambda}{2} d≤2λ ∥ \rVert ∥因為相位測量隻能測量 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]範圍之内，即要求 ∣ 2 π d s i n θ λ ∣ ≤ π ⇒ 2 π d λ ≤ π ⇒ d ≤ λ 2 \begin{vmatrix} \frac{2\pi d sin\theta}{\lambda} \end{vmatrix}\leq\pi\Rightarrow\frac{2\pi d}{\lambda}\leq\pi\Rightarrow d\leq\frac{\lambda}{2} ∣∣λ2πdsinθ∣∣≤π⇒λ2πd≤π⇒d≤2λ
x 1 ( t ) = s ( t ) e j 2 π f 0 t x_1(t)=s(t)e^{j2πf_0t} x1(t)=s(t)ej2πf0t
x 2 ( t ) = x 1 ( t + Δ τ ) = s ( t + Δ τ ) e j 2 π f 0 ( t + Δ τ ) x_2(t)=x_1(t+\Delta\tau)=s(t+\Delta\tau)e^{j2πf_0(t+\Delta\tau)} x2(t)=x1(t+Δτ)=s(t+Δτ)ej2πf0(t+Δτ)
… \dots …
x N ( t ) = x 1 [ t + ( N − 1 ) Δ τ ] = s [ t + ( N − 1 ) Δ τ ] e j 2 π f 0 [ t + ( N − 1 ) Δ τ ) ] x_N(t)=x_1[t+(N-1)\Delta\tau]=s[t+(N-1)\Delta\tau]e^{j2πf_0[t+(N-1)\Delta\tau)]} xN(t)=x1[t+(N−1)Δτ]=s[t+(N−1)Δτ]ej2πf0[t+(N−1)Δτ)]
滿足窄帶假設
可以簡化為
x 1 ( t ) = s ( t ) e j 2 π f 0 t x_1(t)=s(t)e^{j2πf_0t} x1(t)=s(t)ej2πf0t
x 2 ( t ) = s ( t ) e j 2 π f 0 t e j 2 π d s i n θ λ x_2(t)=s(t)e^{j2πf_0t}e^{\frac{j2πdsin\theta}{\lambda}} x2(t)=s(t)ej2πf0teλj2πdsinθ
… \dots …
x N ( t ) = s ( t ) e j 2 π f 0 t e j 2 π ( N − 1 ) d s i n θ λ x_N(t)=s(t)e^{j2πf_0t}e^{\frac{j2π(N-1)dsin\theta}{\lambda}} xN(t)=s(t)ej2πf0teλj2π(N−1)dsinθ
那麼對于單個輻射源，陣列接收信号
X ( t ) = [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋯ x N ( t ) ] X(t)=\begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t)\\ \cdots\\ x_N(t)\\ \end{bmatrix} X(t)=⎣⎢⎢⎡x1(t)x2(t)⋯xN(t)⎦⎥⎥⎤ = s ( t ) e j 2 π f 0 t [ 1 e j 2 π d s i n θ λ ⋯ e j 2 π ( N − 1 ) d s i n θ λ ] =s(t)e^{j2πf_0t}\begin{bmatrix} 1\\ e^{\frac{j2πdsin\theta}{\lambda}}\\ \cdots\\ e^{\frac{j2π(N-1)dsin\theta}{\lambda}}\\ \end{bmatrix} =s(t)ej2πf0t⎣⎢⎢⎡1eλj2πdsinθ⋯eλj2π(N−1)dsinθ⎦⎥⎥⎤（零中頻變頻後） ⇒ a ⃗ ( θ ) s ( t ) \Rightarrow\vec{a}(\theta)s(t) ⇒a
(θ)s(t)，
其中， a ⃗ ( θ ) \vec{a}(\theta) a
(θ)叫作導向矢量，為 N × 1 N×1 N×1的矩陣
推廣至多個輻射源（ θ 1 , θ 2 , ⋯ , θ k \theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k θ1,θ2,⋯,θk）
X ( t ) = a ⃗ ( θ 1 ) s 1 ( t ) + a ⃗ ( θ 2 ) s 2 ( t ) + ⋯ + a ⃗ ( θ k ) s k ( t ) = [ a ⃗ ( θ 1 ) a ⃗ ( θ 2 ) ⋯ a ⃗ ( θ k ) ] [ s 1 ( t ) s 2 ( t ) ⋯ s k ( t ) ] = A ( θ ) S ( k ) \begin{aligned}X(t)&=\vec{a}(\theta_1)s_1(t)+\vec{a}(\theta_2)s_2(t)+\cdots+\vec{a}(\theta_k)s_k(t) =\begin{bmatrix} \vec{a}(\theta_1) & \vec{a}(\theta_2) & \cdots & \vec{a}(\theta_k) \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_1(t)\\ s_2(t)\\ \cdots \\ s_k(t)\\ \end{bmatrix}\\ &=A(\theta)S(k) \end{aligned} X(t)=a
(θ1)s1(t)+a
(θ2)s2(t)+⋯+a
(θk)sk(t)=[a
(θ1)a
(θ2)⋯a
(θk)]⎣⎢⎢⎡s1(t)s2(t)⋯sk(t)⎦⎥⎥⎤=A(θ)S(k)
其中， A ( θ ) 為 N × k 的 矩 陣 ， S ( k ) 為 k × 1 的 矩 陣 A(\theta)為N×k的矩陣，S(k)為k×1的矩陣 A(θ)為N×k的矩陣，S(k)為k×1的矩陣
考慮到噪聲影響， n ( t ) = [ n 1 ( t ) n 2 ( t ) ⋯ n N ( t ) ] n(t)=\begin{bmatrix} n_1(t)\\ n_2(t)\\ \cdots \\ n_N(t)\\ \end{bmatrix} n(t)=⎣⎢⎢⎡n1(t)n2(t)⋯nN(t)⎦⎥⎥⎤
均勻線陣接收信号模型為 X ( t ) = A ( θ ) S ( k ) + n ( t ) X(t)=A(\theta)S(k)+n(t) X(t)=A(θ)S(k)+n(t)