鼓掌……終于到空間插值了,整個空間分析體系裡面,蝦神最擅長的領域之一……為什麼敢說這麼大的話呢,因為蝦神是全公司,唯一一個,能夠用筆和紙,完成插值分析全流程手算的正(bian)常(tai)人類……不過不用羨慕,看完這個系列之後,你們也可以變成和蝦神一樣能夠筆算插值的正(bian)常(tai)人類了。
網際網路上,如果去搜尋空間分析,能夠找到的最多的,應該就是插值分析的資料,如果直接去搜尋插值分析,那麼更是汗牛充棟。如果把密度分析(X度熱力圖)看成是網際網路第一次與大衆科普空間分析的可視化效果圖,那麼插值分析就是玩GIS的同學(不管專業還是非專業)第一次接觸空間分析的hello world。
那麼我們就來好好聊聊,啥是插值……他不但可以做空間分析,還可以做很多與空間無關的線性分析哦。
首先,我們來聊聊啥是插值——
插值的理論,最早來自于天文學概念,世界上最早的插值應用,來自于中國(此處應有掌聲):
公元600年(有個整數的紀年時間不容易啊……),隋朝天文學家劉焯首創了二次内插公式,并且還在天文曆法的編制中使用了三次内插法……數學家果然都好闊怕。
題外話(蝦神是個僞曆史迷):這一年,隋朝名将史萬歲(用萬歲為名字的曆史人物太少了,是以蝦神對他記憶非常深刻)北擊突厥達頭可汗,追殺數百裡,斬首數千級,突厥聞風喪膽……也就是這一年,被權臣楊素誣陷卷入楊勇楊廣的太子之争,被隋文帝直接暴殺于朝堂之上……
王朝氣運興盛之時,垂垂老死的皇帝,一句話就是可以賜死萬夫莫敵的絕代名将……王朝氣運衰敗之時,權臣換皇帝猶如換衣服……
好了,曆史話題到此結束,進入正題:
雖然插值法是我過最早提出來的,正如火藥也是一樣,最後被發揚光大的,還是西方諸聖,諸如元力上人牛爵爺和數理惡魔拉格朗日冕下:
那麼在實戰分析中,插值是怎麼用的呢?
先看這個例子:
求問号貓所在位置的溫度是多少?我們有理由相信,比較合理的是在19-21度之間,而且更靠近21度。為什麼呢?這就是近代空間分析學的奠基理論,waldo Tobler教授提出的地理學第一定律:
地理學第一定律
任何事物都相關,隻是相近的事物關聯更緊密。
那麼怎麼去推算這個位置的溫度呢?如果他們在一條直線上,比如:
我們就可以很容易弄出一個直線方程來,然後根據這點離截距的距離,來計算目前位置的溫度,是以這種補插的方法,又被稱為均值補插法,是所有插值裡面最容易的,因為它用的就是一進制線性方程。
但是一般情況下,不會有這麼理想的直線狀态,一般會是這個樣子:
這樣就不能直接用直線方程了,是以這種情況下,我們需要用到曲線方程了,比如二次方程。
那麼随着我們的測量點和預測點的增多,慢慢就會變成這個樣子:
根據有限個已知點的數值,通過距離或者其他空間關系,推測出其他位置的近似值的方法,就叫做空間插值。
推測的方法,就在于找出一個關鍵性的函數,自變量就是有限點的取值和空間關系,因變量就是最終需要估算的位置的值。
所有的插值方法,原理上都大同小異,同是他們的基本方法都是去找預測函數,不同點在于他們的預測函數和空間關系計算方法的不同,後面我們會慢慢說道。