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樂譜是由兩個次元組成的：音高和時間。例如，在一個單聲部音樂文本中，音符的音高（對應着頻率）是豎直表示的，而演奏時間則是從左到右的。
在14-15世紀的誦經書——《垂憐經(Kyrie)》的其中一行中，演奏是從左到右的，而高度對應着音高。從那之後，記譜的細節發生了很多變化，但基本原理沒有變。圖檔授權于密蘇裡堪薩斯大學堪薩斯市圖書館，肯尼思·J·拉布德特别收藏部。
從拓撲學上來說，單聲部樂譜是一個二維條紋圖。水準坐标代表從開始到結束的時間，垂直坐标代表從低到高的音高。在上面的誦經書，開頭的譜号在樂譜中的第二條線，對應着音階上的“fa”。
單聲部樂譜呈長方形。圖檔來源于作者。
當考慮樂譜的對稱性時，拓撲結構會變得更有意思。假設不斷重複樂譜，就像一些歌曲的前奏一樣反複播放同樣的一段音符序列，将其結尾和開頭連接配接起來，在拓撲結構上來說，樂譜變成了一個柱面。
一段基本的拓撲圓柱曲調。圖源于作者。
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01
卡農
卡農是一種非常有意思的譜曲技巧，一個二部的卡農樂指的是第二聲部延遲模仿第一聲部的樂譜。最著名的例子莫過于法國的一首輪唱歌曲Frère Jacques，國語版本的叫《兩隻老虎》。這首曲子有8個小節。從第三小節開始，第二個聲部開始重複第一個聲部的内容，兩個聲部融合在一起形成和聲，一直持續到9到10小節。等到第二個聲音結束時，第一個聲音重新開始，從第3小節到10小節的序列又形成了一個又一個順滑重複的穩定過程。
《兩隻老虎》。由于一聲部在二聲部結束的時候重新開始，是以沒有自然結束點。藍色框内的序列可以重複多次。圖源于作者。
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巴洛克作曲家約翰·塞巴斯蒂安·巴赫（Johann Sebastian Bach ，1685-1750年）非常擅長譜寫卡農。在他留下的最好的一張肖像中可以看到他拿着一張卡農樂譜。
在1746 年埃利亞斯·戈特洛布·豪斯曼（Elias Gottlob Haussmann）繪制的肖像中，巴赫拿着一張卡農曲譜，是《哥德堡變奏曲（the Goldberg Variations）》（BWV 1087）中十四章卡農裡的卡農 13。
這組曲譜背後還有個故事。一開始隻發現了其中的兩個樂譜，分别在寫在畫上和巴赫給朋友的親筆簽名的本上，直到1974年剩下的曲譜才被發現在巴赫的《哥德堡變奏曲》的曲譜的背面，現在收藏于巴黎國家圖書館。我們來分析該系列中的兩個，卡農 3和卡農 5。
02
卡農 3
卡農 3、 4和 5都涉及到一個聲部和它的“倒影”，比如說原聲部向高音移動時，其倒影會向低音移動，反之亦然。在卡農3中，主聲部演奏《哥德堡變奏曲》的前八個音符，而從第三個小節開始的和聲則是以主聲部颠倒的演奏旋律進行的。
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上：《哥德堡變奏曲》的前八個音符。中：同樣的音符以B和中央C之間的對稱軸颠倒過來。下：兩部分合在一起，一聲部在二聲部演奏一半的時候重新開始，這個曲譜會穩定重複下去。
拓撲學上，《兩隻老虎》跟卡農具有相同的結構：在曲譜的前奏之後，卡農就會進入穩定的圓柱（循環）狀态。巴赫的所有卡農都是這樣構造的。
巴赫卡農的一般性拓撲結構。圖源于作者。
03
卡農 5
卡農 5被巴赫描述為“雙工”（duplex, a 4）。它是用四個聲部同時演奏兩個卡農旋律。其中兩個聲部演奏卡農 3的旋律，與其疊加的另一個卡農除了滞後外還在聲調上降了八度，但結構是一樣：後聲部在兩小節之後開始逆向模仿前面的聲部。
《哥德堡變奏曲》的卡農 5，後聲部在前聲部進行到一半的時候開始。藍色框裡面的代表的是穩定循環。圖源于作者。
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來看下圖中穩定狀态下的前兩個聲部，将樂譜和其倒影（向下翻轉）比較。樂譜的最後兩節可以看做是前兩節的向下翻轉之後的結果（見橙色框），反之亦然。樂譜具有滑移反射對稱性：把樂譜平移然後翻轉，樂譜是一樣的。如果繼續移動，再次翻轉，樂譜就會回到最初的樣子。
卡農 5具有滑移反射對稱性。圖源于作者。
任何具有滑移反射對稱性的周期性文字都能在莫比烏斯帶（Möbius strip）上編碼。用一張條形的紙條，翻轉扭曲之後将兩端黏在一起，就是莫比烏斯帶。
周期性可以使其在柱面上編碼，滑移反射對稱性意味着如果我們将柱面扭曲并兩層重疊，則這兩組音符将完全比對。
将音符記在莫比烏斯帶上，我們認為能從任意一面讀取。
編碼在莫比烏斯帶上的具有滑移反射對稱性的周期性文字。圖源于作者。
由于卡農 5的樂譜具有滑移反射對稱性，是以可以這樣操作樂譜：
将卡農5的兩個上聲部印在柱面上。圖源于作者。
柱面自身重疊兩次，并扭曲形成莫比烏斯帶，可以發現兩個聲部除了尾部，其他部分是完全重疊的。圖源于作者。
【點選收聽莫比烏斯帶聲音】
值得一提的是，逆向演奏的卡農樂譜不一定具有滑移反射對稱性。如果重複一段滑移反射對稱的演奏，則演奏會回到原始狀态。而在逆向運動的卡農中，隻有在當第二聲部正好始于中間點時，才可能出現滑移反射對稱性。
這種周期性的“2聲部”有原聲以及逆向的運動，但是沒有滑移反射對稱性。圖源于作者。
卡農 3和卡農 5樂譜的穩定循環能從莫比烏斯環中讀取，而巴赫的其他樂譜，比如說卡農 9、《哥德堡變奏曲》的變奏 12和 15都沒有這個屬性。
下面有一個名為“莫比烏斯環上的逆行卡農（Crab Canon）的視訊，展示了卡農樂譜是如何在莫比烏斯帶上讀取的。在逆行卡農中，第二聲部的演奏是第一聲部從結尾到開頭的“倒帶”。這首樂譜的構思令人稱奇，但确實跟莫比烏斯環毫無關系。來欣賞一下這首神奇的樂譜吧~
04
錯覺：音高與調性
巴赫也在開發人類對聲音感覺的另一個方面：除了音高，我們對調性（tonality）也很敏感。一般的，中央C與更高和更低的C對人們的感覺來說聽起來是一樣的。是以（聽起來），不同的調性并非線性連續的，而是形成了一個循環，這樣就會産生謝潑德音調（Shepard tone）的現象，感覺音樂的音高像是在不斷地上升。這個可以用用鋼琴來模仿：
鋼琴上的這七個和弦顯示了上升的調性序列如何産生音高上升序列的錯覺。事實上，最後一個和弦和第一個和弦是一樣的。
【點選收聽8】
離散的謝潑德音調錯覺類似于莫裡茨·科内利斯·埃舍爾（ M. C. Escher） 描繪的不可能的瀑布。
【點選收聽9】
05
構造環面
如果按照調性而不是音高對卡農 5 主題中的音符進行分組，那麼上面六次疊代的圖像将變成一個長方形：
将每相隔一個八度的音高确定為等效音高，可以縮短卡農 5主題的完整周期。
由于頂部線（A調）上方的調性與底部的調性在空間上“相鄰”，而且兩端在時間上相鄰，是以調性-時間空間就可以用環面表示：左右邊緣相連就得到了柱面。
再将頂部和底部邊緣重合就得到了一個環面（torus）。
06
環面
值得注意的是，三維空間中光滑環面的幾何圖像具有正曲率和負曲率點，但對樂譜來說，這是沒有意義的。卡農 5的樂譜是通過重疊長方形對邊得到的一個平坦的環面。這個圖形很抽象，不能流暢地在三維空間中展現。
07
平坦環面
在由調性和重複的基調定義的平坦環面上，卡農 5的旋律線在一個方向纏繞了6次，在另一個方向纏繞了1次。
作者：Tony Phillips
翻譯：Nuor
審校：zhenni
原文連結：
Bach and the musical torus | plus.maths.org
https://plus.maths.org/content/topology-music-m-bius-strip
翻譯内容僅代表作者觀點
不代表中科院實體所立場
編輯：zhenni
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