在我們所讨論的三度空間（三維）中，能夠出現的微分形式隻有四種：
零次微分形式——函數 f
一次微分形式——線積分
中出現的微分dx,dy,dz的一次式
二次微分形式——面積分
中出現的微分dx,dy,dz的二次式
三次微分形式——體積分
中出現的微分dx,dy,dz的三次式
注意：以上微分形式中至少有兩個相同的dx,dy,dz項，每一個形式中隻包含具有不同的dx,dy,dz的項。
我們還知道聯系這些線、面、體積分的三個基本公式：
Green公式：
其中D為L圍成的閉區域，P、Q為D上的具有一階連續偏微商的函數。
Gauss公式：
其中V為封閉曲面∑圍成的閉區域，函數P、Q、R為V上有一階連續偏微商的函數。
Stokes公式：
其中封閉曲線L為曲面∑的邊界，P、Q、R為V上有一階連續偏微商的函數。
那麼上述三個公式之間有什麼聯系？
這就是本文所要關注的。
我們也很容易聯想到上述三個公式的更一般形式的實體意義，即場論中的三個度——梯度、旋度、散度
設 u 為數量場，v = Pi + Qj + Rk 為矢量場。
梯度：
旋度：
散度：
這些度都是怎樣産生的？有何數學意義？
這也是本文所要關注的。
單變量微積分有Newton-Leibniz公式，即微分與積分是一對對立統一的運算
多變量微積分中微分、積分的對立統一是怎樣展現的？
這又是本文所要關注的。
懷着這三種疑惑，我們開始觀察這些積分。
容易發現，
第二型線、面積分的積分區域都是有方向的。
然後容易想到可以把一重積分、二重積分看作第二型線、面積分的特例：積分區域也有方向。
三重積分同理也可定向。
是以，曲線長度因方向不同被定義成正負，亦如單變量微積分中
的這個性質。
關于曲面，
定向是分為内外側（看課本定義，即法線從起點連續移動直到回到起點，根據法線方向是否改變來為曲面定向）
（不可定向的曲面典型就是著名的莫比烏斯帶。）
來張圖吧
莫比烏斯帶——不可定向
那麼我們在這裡隻能讨論可定向的曲面咯。
是以，曲面面積在面積元素定向後因方向不同被被定義成正負。
根據二重積分定義，再将面積元素進行變元變換（看課本定義，不詳細寫）
當時是為了保持面積元素始終為正，而對式中Jacobi行列式取了絕對值。
但是現在，面積元素被允許有正負了，就沒必要取絕對值了，就變成了這樣
其中D已定向，D’是D經過變元逆變換得到的區域，自然是定向了的。
是以，
觀察此式的性質
（i）如果取y = x,則有
（ii）如果将y，x互換，則有
此時，dydx≠dxdy,即dx,dy在乘積中次序不能颠倒，否則就是正負的差别。
滿足上述兩條的微分乘積被稱為微分的外乘積，記為
即
和
第二條和普通的微分乘積不同。
外微分形式：
由微分的外乘積乘函數組成的微分形式：
若P、Q、R、A、B、C、H為x,y,z的函數，
一次外微分形式：
二次外微分形式：
三次外微分形式：
接下來易證得三個外微分形式λ，µ，ν的外乘積滿足配置設定律、結合律，但不滿足交換律。（證明比較簡單但編輯起來略繁就不貼了）：
如果λ，µ，ν是任意三個外微分形式
配置設定律：
交換律：
不滿足結合律：
若µ為p次外微分形式，λ為q次外微分形式
這些定律用于後期推廣證明。
容易聯想到
外微分可類比為：矢量外乘積
為了便于推廣，我們可根據形式定義算子。
是以我們根據外微分形式ω定義外微分算子d,
零次外微分形式 函數 f 定義為
，其實這裡就是普通的全微分算子
一次外微分形式
，定義為
由于
是以
由于
是以
二次外微分形式
，定義為
同理易得
三次外微分形式
，定義為
同理，由于
是以
為什麼等于零？因為每一項中至少有兩個微分是相同的
是以，在三維空間中任意的三次外微分形式的外微分是零
外微分算子和普通微分算子運算方式相同，唯一的不同就是外微分算子運算後進行外乘積，而普通微分算子運算後進行正常的乘積。
于是我們得到了零次、一次、二次、三次外微分算子。
接下來，
設零次外微分形式ω=f,
就有
然後
由于
是以
假設f具有二階連續偏微商，則有
是以
一次外微分形式
于是
二次外微分形式
易得
三次外微分形式
易得
這就是Poincaré引理：
若ω為一個外微分形式，其微分形式的系數具有二階連續偏微商，則
。
那麼Poincaré引理的逆定理是否成立呢？成立。
先闡述Poincaré引理之逆：
若ω是一個p次外微分式且
，則存在一個p-1次外微分形式 a，使
。
其實我們學習場論中的有勢場、管型場時已經證明過了。
這裡具體不貼了。
引入外微分後，接下來回到之前的疑惑之一——場論中的三個度究竟是什麼含義，還有沒更多的度？
先将三個度化成外微分形式，觀察其意義。
零次外微分形式 ω = f, 零次外微分形式的外微分
又 f 的梯度為
是以梯度與零次外微分形式的外微分相對應。
一次外微分形式
的外微分
又矢量
的旋度為
是以旋度與一次外微分形式的外微分相對應。
二次外微分形式
的外微分
又矢量
的散度
是以散度與二次外微分形式的外微分相對應。
三次外微分形式的外微分在三維空間中為零。
是以沒有相對應的度。
三維空間裡，也沒有更多的度了。
綜上，就是如下
外微分形式的次數 度
0 梯度
1 旋度
2 散度
轉載自
那麼，Poincaré引理與Poincaré引理之逆也有其場論意義了：
易得
Poincaré引理中
當ω為零次外微分形式ω = f,有
即
當ω為一次外微分形式
，記
，有
即
Poincaré引理之逆中
等價于
即
必有
等價于
即
必有
回到剩下兩個疑惑——三個公式與高維空間中微分積分的關系
現将三個公式寫成外微分形式。
Green公式
記
，為一次外微分形式，于是
又線積分L可定向，是以該公式可寫成
同理，Gauss公式
又Σ定向，是以記
該公式可寫成
同理Stokes公式
又線、面積分都為定向，将
看作一次外微分形式
是以該公式可寫成
綜上，可以看出，Green公式、Gauss公式、Stokes公式實際上是一個公式
其中ω為外微分形式，dω為ω的外微分，Σ為dω的封閉積分區域，∂Σ為Σ的邊界，∫為區域有多少維數即多少重數。
含義：
高次的外微分形式dω在區域上的積分等于低一次的外微分形式ω在區域的低一維空間邊界上的積分。
外微分運算和積分是互相抵消的，亦如一維空間中Newton-Leibniz公式。
由于三維空間中三次外微分形式的外微分為零，是以有了這個公式以後，區分區域和邊界的公式就不再有了。
這個公式就是廣義的Stokes公式
再寫一遍
這個公式還可以推廣到更一般的流形上（這個未來再說）
綜上，在三維空間中，
外微分形式的次數 空間 公式
0 直線段 Newton-Leibniz公式
1 平面區域 Green公式
1 空間曲面 Stokes公式
2 空間中區域 Gauss公式