指數分布
當一個随機變量 X X X ~ e x p ( λ ) exp(\lambda) exp(λ)時，它的密度函數為：
f ( x ) = { λ e − λ x , ( x ≥ 0 ) 0 , ( x < 0 ) . f(x)=\left\{ \begin{aligned} \lambda e^{-\lambda x},~~~(x\geq0)\\ 0,~~~~~~~(x<0) \end{aligned} \right.. f(x)={λe−λx, (x≥0)0, (x<0).
1 泊松分布
前面介紹伽馬分布的時候介紹過，伽馬分布族是泊松分布中參數與指數分布中參數的共轭先驗分布族，同時，指數分布是伽馬分布的特例。其實，指數分布與泊松分布有着密不可分的聯系，這也是通常把指數分布與泊松分布中的參數一般都計作 λ \lambda λ的原因。
随機變量 ξ \xi ξ服從參數為 λ \lambda λ的 P o i s s o n Poisson Poisson分布，即 ξ \xi ξ~ P ( λ ) P(\lambda) P(λ),那麼 ξ \xi ξ的分布列為：
P ( ξ = k ) = e − λ λ k k ! ( λ > 0 ) . P(\xi=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}(\lambda>0). P(ξ=k)=k!e−λλk(λ>0).
服從指數分布的随機變量 X X X是連續型随機變量；服從泊松分布的随機變量 ξ \xi ξ是離散型随機變量。 ξ \xi ξ的實際意義可以是機關時間内事件發生的個數(一種計數)，即 P ( ξ = k ) = e − λ λ k k ! P(\xi=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} P(ξ=k)=k!e−λλk意味着: 機關時間内，特定事件發生的次數為 k k k的機率為 e − λ λ k k ! \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} k!e−λλk.
簡單使用級數，可以求出：
E ( ξ ) = ∑ k = 0 ∞ k e − λ λ k k ! = λ E(\xi)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}k\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\lambda E(ξ)=k=0∑∞kk!e−λλk=λ
即在服從 P ( λ ) P(\lambda) P(λ)的 ξ \xi ξ 的密度函數表達式中，參數 λ \lambda λ的意義是，機關時間内發生特定事件次數的期望值。可以将在時間 t 内發生事件的次數的随機變量可記為 N ( t ) N(t) N(t), 則有 N ( t ) ∼ P ( λ t ) N(t)\sim P(\lambda t) N(t)∼P(λt)，即：
P ( N ( t ) = k ) = e − λ t ( λ t ) k k ! ( λ > 0 ) . P(N(t)=k)=\frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^k}{k!}(\lambda>0). P(N(t)=k)=k!e−λt(λt)k(λ>0).
将在兩次事件發生之間的時間間隔的随機變量記為 T T T, 根據這個意義， T T T為一個連續型随機變量。
F T ( t ) = P ( T ≤ t ) = 1 − P ( T > t ) = 1 − P ( N ( t ) = 0 ) = 1 − e − λ t ( t ≥ 0 ) F_T(t)=P(T\le t)=1-P(T>t)=1-P(N(t)=0)=1-e^{-\lambda t}~~~(t\ge0) FT(t)=P(T≤t)=1−P(T>t)=1−P(N(t)=0)=1−e−λt (t≥0)
則：
f T ( t ) = λ e − λ t ( t ≥ 0 ) f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t} ~~~(t\ge0) fT(t)=λe−λt (t≥0)
事件發生的次數服從參數為 λ \lambda λ的泊松分布，兩次之間的時間間隔作為一個随機變量服從參數為 λ \lambda λ指數分布。使用分部積分，可以求出随機變量 T T T的期望為：
E ( T ) = ∫ 0 + ∞ t λ e − λ t d t = 1 λ E(T)=\int_{0}^{+\infty}t\lambda e^{-\lambda t}dt=\frac{1}{\lambda} E(T)=∫0+∞tλe−λtdt=λ1
綜上，可以了解參數 λ \lambda λ的實際意義： λ \lambda λ是機關時間内發生事件個數的期望，兩次事件發生之間的時間間隔的期望為 1 λ . \frac{1}{\lambda}. λ1.
2 生存分析
在生存分析中，生存時間的分布類型不易确定。一般近似服從指數分布、Weibull分布、Gompertz分布、對數正态分布、對數Logistic分布等。除指數分布外，其他分布都在一定條件下呈現為“s型”生長曲線。
2.1 風險函數
在生存資料的分析中，可以使用 Cox 回歸。上面定義随機變量 T T T 為兩次事件發生之間的時間間隔，在我們衡量一個病人可以生存的時間時(從起始事件到終點事件的時間)，可以使用 T T T, 将其作為一個服從參數為 λ \lambda λ 的指數分布的随機變量。下面介紹生存分析中的因變量。
如果有n個病人，将這n個病人的生存時間的随機變量記為 T 1 , T 2 , . . . , T n T_1,T_2,...,Tn T1,T2,...,Tn, 則有 T i T_i Ti的密度函數：
f T i ( t i ) = λ i e − λ i t i , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) f_{T_i}(t_i)=\lambda_i e^{-\lambda_i t_i},~~~(i=1,2,...,n) fTi(ti)=λie−λiti, (i=1,2,...,n)
T i T_i Ti的分布函數為：
P ( T i ≤ t i ) = F T i ( t i ) = 1 − λ i e − λ i t i , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) P(T_i\le t_i)=F_{T_i}(t_i)=1-\lambda_i e^{-\lambda_i t_i},~~~(i=1,2,...,n) P(Ti≤ti)=FTi(ti)=1−λie−λiti, (i=1,2,...,n)
對應的生存函數為：
S T i ( t i ) = P ( T i > t i ) = 1 − F T i ( t i ) = e − λ i t i , ( i = 1 , 2 , . . . , n ) S_{T_i}(t_i)=P(T_i>t_i)=1-F_{T_i}(t_i)=e^{- \lambda_i t_i},~~~(i=1,2,...,n) STi(ti)=P(Ti>ti)=1−FTi(ti)=e−λiti, (i=1,2,...,n)
風險函數為：
h T i ( t i ) = f T i ( t i ) S T i ( t i ) = λ i h_{T_i}(t_i)=\frac{f_{T_i}(t_i)}{S_{T_i}(t_i)}=\lambda_i hTi(ti)=STi(ti)fTi(ti)=λi
事實上，風險函數的分子部分是一個條件機率，求的是在一個病人已經生存到時間 t 的條件下在時間 t 的瞬時死亡率。風險函數值越大，瞬時死亡率越高，病人越危險。即：
h ( t ) = f ( t ) S ( t ) = lim △ t → 0 F ( t + △ t ) − F ( t ) △ t / P ( T > t ) h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}={{\lim\limits_{\triangle t\rightarrow0}}{\frac{F(t+\triangle t)-F(t)}{\triangle t}}}/ {{P(T>t)}} h(t)=S(t)f(t)=△t→0lim△tF(t+△t)−F(t)/P(T>t)
= lim △ t → 0 P ( t < T ≤ t + △ t ) / P ( T > t ) △ t ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\lim\limits_{\triangle t\rightarrow0}{\frac{P(t<T\le t+\triangle t)/P(T>t)}{\triangle t}} =△t→0lim△tP(t<T≤t+△t)/P(T>t)
= lim △ t → 0 P ( t < T ≤ t + △ t ∣ T > t ) △ t ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\lim\limits_{\triangle t\rightarrow0}{\frac{P(t<T\le t+\triangle t~|~T>t)}{\triangle t}} =△t→0lim△tP(t<T≤t+△t ∣ T>t)
如果要建立 Cox 回歸模型，首先要計算出每個患者所對應的 h T i ( t i ) = λ i h_{T_i}(t_i)=\lambda_i hTi(ti)=λi, 在使用貝葉斯思想對 λ i \lambda_i λi 進行參數估計時，可以用伽馬分布(伽馬分布中的參數估計可以再用均勻分布作為超先驗分布)表示出 λ i \lambda_i λi 的分布情況，然後使用合适的統計量(例如衆數或者均數)進行估計。
2.2 威布爾分布
服從參數為 λ \lambda λ與 k k k的兩參數Weibull分布的随機變量 T T T的密度函數為：
f ( t ) = k λ ( t λ ) k − 1 e − ( t λ ) k , ( t ≥ 0 ) f(t)= {\frac{k}{\lambda}} {(\frac{t}{\lambda})^{k-1}} {e^{-(\frac{t}{\lambda})^k}},~~~(t\ge 0 ) f(t)=λk(λt)k−1e−(λt)k, (t≥0)
很明顯，當參數 k = 1 k=1 k=1時，随機變量 T T T服從參數為 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1的指數分布。指數分布是Weibull分布的特例。Weibull分布也廣泛地應用于生存資料的分析中。但威布爾分布更廣泛地适用于機械結構失效分析過程中，許多有關威布爾分布的研究表明，如果某系統的局部失效導緻了整個系統的功能失靈，則這種系統壽命一般服從Weibull分布。
T T T的分布函數為：
P ( T ≤ t ) = F ( t ) = 1 − e x p { − ( t k ) k } , ( t ≥ 0 ) P(T\le t)=F(t)=1-exp\left\{-(\frac{t}{k})^k\right\},~~~(t\ge 0 ) P(T≤t)=F(t)=1−exp{−(kt)k}, (t≥0)
可靠度函數(對應于生存分析中的生存函數)為：
R ( t ) = P ( T > t ) = 1 − F ( t ) = e x p { − ( t k ) k } R(t)=P(T>t)=1-F(t)=exp\left\{-(\frac{t}{k})^k\right\} R(t)=P(T>t)=1−F(t)=exp{−(kt)k}
失效率函數(對應于生存分析中的風險函數)為：
λ ( t ) = f ( t ) R ( t ) = k λ ( t λ ) k − 1 \lambda(t)=\frac{f(t)}{R(t)}={\frac{k}{\lambda}} {(\frac{t}{\lambda})^{k-1}} λ(t)=R(t)f(t)=λk(λt)k−1
2.3 對數正态分布
在介紹對數正态分布時，先介紹一個定理：
定理#： 已知随機變量 X X X的密度函數，且 t = g ( x ) t=g(x) t=g(x)嚴格單調,其反函數 x = h ( t ) x=h(t) x=h(t)有連續導函數，那麼:
f T ( t ) = { f X [ h ( t ) ] ∣ h ′ ( t ) ∣ , ( m i n { g ( − ∞ ) , g ( + ∞ ) } < t < m a x { g ( − ∞ ) , g ( + ∞ ) } 0 , 其 他 f_T(t)=\left\{ \begin{aligned} f_X[h(t)]\left| h'(t)\right|, (min\left\{g(-\infty),g(+\infty)\right\}<t<max\left\{g(-\infty),g(+\infty)\right\}\\ 0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~其他~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ \end{aligned} \right. fT(t)={fX[h(t)]∣h′(t)∣,(min{g(−∞),g(+∞)}<t<max{g(−∞),g(+∞)}0, 其他
若随機變量 X ∼ N ( μ , σ 2 ) , X\sim N(\mu,\sigma^2), X∼N(μ,σ2), 則随機變量 T = e X T=e^X T=eX服從對數正态分布。 應用定理#，那麼 T = e X T=e^X T=eX的密度函數為：
f ( t ) = { 1 t 2 π σ e x p { − ( ln t − μ ) 2 2 σ 2 } , t > 0 0 , t ≤ 0 f(t)=\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{t\sqrt {2\pi }\sigma}exp \left\{-\frac{(\ln t-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\},~~~~~~~t>0\\ 0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~t\le 0 \\ \end{aligned} \right. f(t)=⎩⎪⎨⎪⎧t2π
σ1exp{−2σ2(lnt−μ)2}, t>00, t≤0
T T T的生存函數與風險函數與上面2.1一緻。
2.4 log-logistic分布
随機變量 X X X服從logistic分布，則 T = e X T=e^X T=eX服從 log-logistic分布。這裡選取一種logistic分布的特例進行解釋。
随機變量 X X X的密度函數為：
f ( x ) = e − x ( 1 + e − x ) 2 f(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} f(x)=(1+e−x)2e−x
應用定理#,那麼 T = e X T=e^X T=eX的密度函數為：
f ( t ) = { 1 ( 1 + t ) 2 , t > 0 0 , t ≤ 0 f(t)=\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{(1+t)^2},~~~t>0\\ 0,~~~~~~~~~~~~t\le 0 \\ \end{aligned} \right. f(t)=⎩⎪⎨⎪⎧(1+t)21, t>00, t≤0
T T T的生存函數與風險函數與上面2.1一緻。
![Python 資料分析執行個體——生存分析[圖]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACwAAAAAAQABAAACAkQBADs=)