學習筆記——假設檢驗

假設

• 對總體參數的的數值所作的一種陳述
• 總體參數包括總體均值、比例、方差等
• 分析之前必需陳述

假設檢驗

• 事先對總體參數或分布形式作出某種假設，然後利用樣本資訊來判斷原假設是否成立
• 有參數假設檢驗和非參數假設檢驗
• 采用邏輯上的反證法，依據統計上的小機率原理
• 小機率原理：指發生機率很小的随機事件在一次試驗中 幾乎不可能發生，把0.05或比0.05更小的機率看成小機率。

  

原假設和備用假設

• 什麼是原假設

1. 待檢驗的假設，又稱“0假設”
2. 研究者想收集證據予以反對的假設
3. 總是有等号 =, ≤ \leq ≤ 或 ≥ \geq ≥

4. 表示為 H 0 H_{0} H0​

   • H 0 H_{0} H0​： μ = \mu = μ= 某一數值

   • 指定為 = 号，即 ≤ \leq ≤ 或 ≥ \geq ≥

   • 例如, H 0 H_{0} H0​： μ = \mu = μ= 3190（克）

• 什麼是備擇假設

1. 與原假設對立的假設，也稱“研究假設”

2. 研究者想收集證據予以支援的假設總是有不等

   号: ≠ \neq ̸​=, < 或 >

3. 表示為 H 1 H_{1} H1​

   • H 1 H_{1} H1​： μ \mu μ <某一數值，或 μ \mu μ >某一數值

   • 例如, H 1 H_{1} H1​： μ \mu μ < 3910(克)，或 μ \mu μ >3910(克)

決策風險

第一類錯誤（棄真錯誤）

• 原假設為真時拒絕原假設

• 會産生一系列後果

• 第一類錯誤的機率為 α \alpha α

• 被稱為顯著性水準

第二類錯誤（取僞錯誤）

• 原假設為假時接受原假設

• 第二類錯誤的機率為 β \beta β

假設檢驗的流程

• 提出假設
• 确定适當的檢驗統計量
• 規定顯著性水準 α \alpha α
• 計算檢驗統計量的值
• 作出統計決策
• 解釋

什麼是檢驗統計量

1. 用于假設檢驗決策的統計量

2. 選擇統計量的方法與參數估計相同，需考慮

   • 是大樣本還是小樣本

   • 總體方差已知還是未知

3. 檢驗統計量的基本形式為

   Z = X ˉ − μ 0 δ n Z=\frac{\bar{X}-\mu _{0}}{\frac{\delta }{\sqrt{n}}} Z=n

   ​δ​Xˉ−μ0​​

什麼是顯著性水準

1. 是一個機率值

2. 原假設為真時，拒絕原假設的機率

   • 被稱為抽樣分布的拒絕域

   • 拒絕區域與原假設相反

3. 表示為 α \alpha α(alpha)

   • 常用的 α \alpha α值有0.01, 0.05, 0.10

4. 由研究者事先确定

作出統計決策

1.計算檢驗的統計量

2. 根據給定的顯著性水準 α \alpha α，查表得出相應的臨界值 z α z_{\alpha } zα​或 z α / 2 z_{\alpha/2 } zα/2​， t α t_{\alpha } tα​或 t α / 2 t_{\alpha/2 } tα/2​

3. 将檢驗統計量的值與 α \alpha α水準的臨界值進行比較

4. 得出拒絕或不拒絕原假設的結論

5.

顯著性水準決策

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p值決策

• 檢驗統計量跨過臨界值等價于p值小于 α \alpha α
  • Z>S( α \alpha α顯著水準下的臨界值)
  • p< α \alpha α

1. p值是一個機率值

2. 如果原假設為真，P-值是抽樣分布中大于或小于樣本統計量的機率

   • 左側檢驗時，P-值為曲線下方小于等于檢驗統計量部分的面積

   • 右側檢驗時，P-值為曲線下方大于等于檢驗統計量部分的面積

3. 被稱為觀察到的(或實測的)顯著性水準

   • H 0 H_{0} H0​ 能被拒絕的最小值

雙側檢驗

左側檢驗

右側檢驗

利用 P 值進行檢驗

1. 單側檢驗

   • 若p-值 > α \alpha α,不拒絕 H 0 H_{0} H0​

   • 若p-值 < α \alpha α, 拒絕 H 0 H_{0} H0​

2. 雙側檢驗

   • 若p-值 > α \alpha α/2, 不拒絕 H 0 H_{0} H0​

   • 若p-值 < α \alpha α/2, 拒絕 H 0 H_{0} H0​

差別

當求顯著性差異時，用雙側檢驗，當要求顯著大于或小于時，用單側檢驗。

總結

p值決策與顯著性水準決策一樣，等價的，隻是一個用p值另一個用檢驗統計量。

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一個總體參數檢驗

總體均值的檢驗

總體比例的檢驗

總體方差的檢驗

總體均值檢驗

• 方差已知或方差未知大樣本

1. 假定條件

   • 總體服從正态分布

   • 若不服從正态分布, 可用正态分布來近似(n ≥ \geq ≥ 30)

2. 使用Z-統計量

• 方差未知小樣本

1. 假定條件

   • 總體為正态分布

   • 方差未知，且小樣本

2. 使用t 統計量

   

   解答：

   

總體比例檢驗

總體方差檢驗

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兩個正态總體參數檢驗

兩個總體均值之差的檢驗

兩個總體比例之差的檢驗

兩個總體方差比的檢驗

檢驗中的比對樣本

兩個總體比例之差檢驗

兩個總體方差比檢驗

兩個總體均值之差檢驗

兩個方差已知

• 假設形式

  

兩個方差未知，但相等：

兩個方差未知，但不相等：

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配對樣本t檢驗

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