動态規劃算法通常用于求解具有某種最優性質的問題。在這類問題中，可能會有許多可行解。每一個解都對應于一個值，我們希望找到具有最優值的解。
能采用動态規劃求解的問題的一般要具有3個性質：
- 最優化原理：如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，就稱該問題具有最優子結構，即滿足最優化原理
- 無後效性：即某階段狀态一旦确定，就不受這個狀态以後決策的影響。也就是說，某狀态以後的過程不會影響以前的狀态，隻與目前狀态有關。
- 有重疊子問題：即子問題之間是不獨立的，一個子問題在下一階段決策中可能被多次使用到。（該性質并不是動态規劃适用的必要條件，但是如果沒有這條性質，動态規劃算法同其他算法相比就不具備優勢）
動态規劃算法與分治法類似，其基本思想也是将待求解問題分解成若幹個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法不同的是，适合于用動态規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題，則分解得到的子問題數目太多，有些子問題被重複計算了很多次。如果我們能夠儲存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重複計算，節省時間。
動态規劃一般都是使用表格法進行求解。我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，隻要它被計算過，就将其結果填入表中。這就是動态規劃法的基本思路。
這裡我已背包問題為例詳細介紹如何利用動态規劃解決實際問題：
0/1背包問題
假設有一個小偷，有一個承重容量為35kg的背包，可以盜竊的物品有三種，每種隻有一個，包括：A（30kg，價值3000元）、B（20kg，價值2000元）、C（15kg，價值1500元）。怎麼選擇才能使裝入背包的物品價值最高？
接下來我用表格示範動态規劃過程，如下圖：
- 第一行，考慮物品A。容量為15、20，25時，都無法裝入背包，此時最大價值為0；當容量為30、35時可以裝入，是以此時最大價值為3000元；
- 第二行，考慮物品A、B。容量為15時，都無法裝入背包，此時最大價值為0；容量為20、25時，隻能把物品B裝入背包，此時價值最大為2000元；容量為30時，A與B都可以裝入，但是裝入A時價值更大，此時最大價值為3000元；容量為35時，A與B都可以裝入，但是裝入A時價值更大，此時最大價值為3000元；
- 第三行，考慮物品A、B、C。容量為15時，隻能放入C，此時最大價值為1500元；容量為20時，B與C都可以放入，但是裝入B時價值更大，此時最大價值為2000元；容量為25時，B與C都可以放入，但是裝入B時價值更大，此時最大價值為2000元；容量為30時，A、B與C都可以放入，但是裝入A時價值更大，此時最大價值為3000元；容量為35時，A、B與C都可以放入，但是同時裝入B和C時價值更大，此時最大價值為3500元；
通過以上三步，我們就得到最大的方案，也就是把B和C同時放入背包時價值最大，最大為3500元。在表格推理過程中我們隐藏了一個細節，在計算每個單元格的 價值時，都會遵循一下公式：
當 前 最 大 價 值 = max { 當 前 容 量 對 應 的 上 一 行 單 元 格 的 價 值 當 前 物 品 的 價 值 + 剩 餘 容 量 對 應 的 上 一 行 單 元 格 對 應 的 價 值 目前最大價值= \max \begin{cases} 目前容量對應的上一行單元格的價值\\ 目前物品的價值 + 剩餘容量對應的上一行單元格對應的價值 {} \end{cases} 目前最大價值=max{目前容量對應的上一行單元格的價值目前物品的價值+剩餘容量對應的上一行單元格對應的價值
這裡我們用數學公式來表達，友善程式編寫。用 g i g_i gi表示物品種類，用 w i w_i wi表示物品對應的重量，用 v i v_i vi表示物品對應的價值。用 V V V表示目前表格，次元為 ( M (M (Mx N ) N) N)，M為物品的種類，N為容量劃分數量（可以根據自己需要劃分）， V m a x V_{max} Vmax表示目前的最大值， G G G表示背包容量，則用公式表示為：
V [ m ] [ n ] = max ( V [ m − 1 ] [ n ] , v [ m ] + V [ m − 1 ] [ G − g [ m ] ] ) V[m][n]=\max(V[m-1][n],\space\space v[m]+V[m-1][G-g[m]]) V[m][n]=max(V[m−1][n], v[m]+V[m−1][G−g[m]])
代碼實作如下：
def package_1(weights, values, capacities):
"""
該函數是利用動态規劃解決0/1背包問題
:param weights: 每個物品的重量
:param values: 每個物品對應的價值
:param capacities: 預先設定的容量變化清單
:return:
"""
table_value = [[ 0 for _ in range(len(capacities))] for _ in range(len(weights))]
# 填充表格第一行
for k in range(len(capacities)):
if weights[0] <= capacities[k]:
table_value[0][k] = values[0]
for i in range(1, len(weights)):
for j in range(len(capacities)):
if weights[i] < capacities[j]:
continue
# 假定放入第i個物品後，剩餘容量對應的索引
ind = capacities.index(capacities[-1] - weights[i])
table_value[i][j] = max(table_value[i-1][j], values[i]+table_value[i-1][ind])
完全背包問題
假設有一個小偷，有一個承重容量為10kg的背包，可以盜竊的物品有三種，每種都不限數量，包括：A（3kg，價值30元）、B（2kg，價值20元）、C（1kg，價值15元）。怎麼選擇才能使裝入背包的物品價值最高？
接下來我用表格示範動态規劃過程，如下圖：
填寫步驟和0/1背包問題相似，唯一不同的地方就是可以選擇不同數量的值，也就是考慮0-n個某種物品的重量，具體表格步驟就不想說了，情況太多，不好描述，直接看表吧（注：這裡的最優以第一次出現的最優為準）。
在表格推理過程中我們隐藏了一個細節，在計算每個單元格的 價值時，都會遵循一下公式：
當 前 最 大 價 值 = max { 當 前 容 量 對 應 的 上 一 行 單 元 格 的 價 值 當 前 k 個 物 品 的 價 值 + 剩 餘 容 量 對 應 的 上 一 行 單 元 格 對 應 的 價 值 目前最大價值= \max \begin{cases} 目前容量對應的上一行單元格的價值\\ 目前k個物品的價值 + 剩餘容量對應的上一行單元格對應的價值 {} \end{cases} 目前最大價值=max{目前容量對應的上一行單元格的價值目前k個物品的價值+剩餘容量對應的上一行單元格對應的價值
這裡我們用數學公式來表達，友善程式編寫。用 g i g_i gi表示物品種類，用 w i w_i wi表示物品對應的重量，用 v i v_i vi表示物品對應的價值。用 V V V表示目前表格，次元為 ( M (M (Mx N ) N) N)，M為物品的種類，N為容量劃分數量（可以根據自己需要劃分）， V m a x V_{max} Vmax表示目前的最大值， G G G表示背包容量， k k k表示目前物品選取的數量，則用公式表示為：
V [ m ] [ n ] = max ( V [ m − 1 ] [ n ] , v [ m ] ∗ k + V [ m − 1 ] [ G − g [ m ] ∗ k ] ) V[m][n]=\max(V[m-1][n],\space\space v[m]*k+V[m-1][G-g[m]*k]) V[m][n]=max(V[m−1][n], v[m]∗k+V[m−1][G−g[m]∗k])
代碼實作如下：
def package_2(weights, values, capacities):
"""
該函數是利用動态規劃解決0/1背包問題
:param weights: 每個物品的重量
:param values: 每個物品對應的價值
:param capacities: 預先設定的容量變化清單
:return:
"""
table_value = [[0 for _ in range(len(capacities))] for _ in range(len(weights))]
# 填充表格第一行
for k in range(len(capacities)):
num = capacities[k] // weights[k]
table_value[0][k] = num * values[0]
for i in range(1, len(weights)):
for n in range(1000):
# 提前終止
if n * weights[i] > capacities[-1]:
break
for j in range(len(capacities)):
if weights[i]*n < capacities[j]:
continue
# 假定放入第i個物品後，剩餘容量對應的索引
ind = capacities.index(capacities[-1] - weights[i]*n)
table_value[i][j] = max(table_value[i - 1][j], values[i] + table_value[i - 1][ind])
多重背包問題
假設有一個小偷，有一個承重容量為10kg的背包，可以盜竊的物品有三種，每種物品數量都有限制，包括：A（3kg，價值30元，2個）、B（2kg，價值20元，3個）、C（1kg，價值15元，3個）。怎麼選擇才能使裝入背包的物品價值最高？
接下來我用表格示範動态規劃過程，如下圖：
填寫步驟和完全背包問題相似，唯一不同的地方就是物品的數量有限，也就是考慮0-所有個某種物品的重量，具體表格步驟就不想說了，情況太多，不好描述，直接看表吧（注：這裡的最優以第一次出現的最優為準）。
在表格推理過程中我們隐藏了一個細節，在計算每個單元格的 價值時，都會遵循一下公式：
當 前 最 大 價 值 = max { 當 前 容 量 對 應 的 上 一 行 單 元 格 的 價 值 當 前 k 個 物 品 的 價 值 + 剩 餘 容 量 對 應 的 上 一 行 單 元 格 對 應 的 價 值 目前最大價值= \max \begin{cases} 目前容量對應的上一行單元格的價值\\ 目前k個物品的價值 + 剩餘容量對應的上一行單元格對應的價值 {} \end{cases} 目前最大價值=max{目前容量對應的上一行單元格的價值目前k個物品的價值+剩餘容量對應的上一行單元格對應的價值
這裡我們用數學公式來表達，友善程式編寫。用 g i g_i gi表示物品種類，用 w i w_i wi表示物品對應的重量，用 v i v_i vi表示物品對應的價值，用 s i s_i si表示物品對應的最大數量。用 V V V表示目前表格，次元為 ( M (M (Mx N ) N) N)，M為物品的種類，N為容量劃分數量（可以根據自己需要劃分）， V m a x V_{max} Vmax表示目前的最大值， G G G表示背包容量， k k k( k < s i k<s_i k<si)表示目前物品選取的數量，則用公式表示為：
V [ m ] [ n ] = max ( V [ m − 1 ] [ n ] , v [ m ] ∗ k + V [ m − 1 ] [ G − g [ m ] ∗ k ] ) 其 中 ： k < s [ m ] V[m][n]=\max(V[m-1][n],\space\space v[m]*k+V[m-1][G-g[m]*k]) \space\space\space\space 其中：k < s[m] V[m][n]=max(V[m−1][n], v[m]∗k+V[m−1][G−g[m]∗k]) 其中：k<s[m]
代碼實作如下：
def package_3(weights, values, limits, capacities):
"""
該函數是利用動态規劃解決0/1背包問題
:param weights: 每個物品的重量
:param values: 每個物品對應的價值
:param limits: 每個物品對應的數量
:param capacities: 預先設定的容量變化清單
:return:
"""
table_value = [[0 for _ in range(len(capacities))] for _ in range(len(weights))]
# 填充表格第一行
for k in range(len(capacities)):
num = capacities[k] // weights[k]
if num > limits[0]:
if k != 0:
table_value[0][k] = table_value[0][k-1]
else:
table_value[0][k] = num * values[0]
for i in range(1, len(weights)):
for n in range(limits[i]+1):
# 提前終止
if n * weights[i] > capacities[-1]:
break
for j in range(len(capacities)):
if weights[i]*n < capacities[j]:
continue
# 假定放入第i個物品後，剩餘容量對應的索引
ind = capacities.index(capacities[-1] - weights[i]*n)
table_value[i][j] = max(table_value[i - 1][j], values[i] + table_value[i - 1][ind])
代碼還有很大的優化空間，後續會繼續優化，另外我将結合一個實際工程案例，更深入的了解動态規劃，敬請期待！