動态規劃_背包問題

01背包問題

有N件物品和一個容量為V的背包。（每種物品均隻有一件）第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解将哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

未優化版本：

for (int i=1;i<=n;++i) {　for (int j=v;j>=0;--j)　　 {
       if(c[i]<=j)//如果目前物品可以放入目前空間的背包
       f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);
       else f[i][j]=f[i-1][j];//如果目前物品放不進去，那麼繼承前i個物品在目前空間大小時的價值
　　　}
  }
           

優化版本：

/*
01背包
适用于輸入格式如下的問題，出現問題請自行調整：
第一行兩個整數M, N分别表示背包空間與物品總數；
第2到N+1行每行兩個整數，分别表示這類物品每個的價值和所需空間。 
*/
#include<cstdio>
const int MAXM=10001,MAXN=51;
int m,n;
int w[MAXN],c[MAXN];
int f[MAXM];
int max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=w[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}
           

01背包問題(完全背包)

未優化版本：

for(int i = 0 ; i < n ; i ++) 
{ 
    for(int j = 1 ; j <= v ; j++) 
    {
        if(c[i]<=j)
        f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-c[i]]+w[i]); 
        else
        f[i][j]=f[i-1][j];
    }
}
           

優化版本:

/*
完全背包，輸入規則：
第一行兩個整數M, N分别表示背包空間與物品總數；
第2到N+1行每行兩個整數，分别表示這類物品每個的價值和所需空間。 
*/
#include<cstdio>
const int MAXM=10001,MAXN=51;
int m,n;
int w[MAXN],c[MAXN];
int f[MAXM];
int max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=w[i];j<=m;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}
           

01背包問題(多重背包)

未優化版本：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005];
int weight[1005],value[1005],num[1005];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>weight[i]>>value[i]>>num[i];
        
    for(int i=1; i<=n; i++)//每種物品
        
        for(int k=0; k<num[i]; k++)//其實就是把這類物品展開，調用num[i]次01背包代碼
        
            for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//正常的01背包代碼
            
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
    
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}
           

優化版本說明：

把原始的數量的物品拆分可以組合的多個商品，

比如Ci  = 14，我們可以把它化成如下4個物品：

重量是Wi，體積是Vi

重量是2 * Wi , 體積是2 * Vi

重量是4 * Wi , 體積是4 * Vi

重量是7 * Wi , 體積是7 * Vi

優化版本：

/*
多重背包，輸入格式： 
第一行，一個整數n，物品數量；
第二行，n個整數，第i個整數表示第i個物品的價格bi；
第三行，n個整數，第i個整數表示第i個物品的數量ci；
第四行，一個整數m，背包空間。
*/
#include<cstdio>
const int MAXM=10001,MAXN=6001;
int v[MAXM],w[MAXM];
int f[MAXN];
int n,m,p;
int max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y,s,t=1;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&s);
        for(;s>=t;t<<=1)
        {
            v[++p]=x*t;
            w[p]=y*t;
            s-=t;
        }
        v[++p]=x*s;
        w[p]=y*s;
    }
    for(int i=1;i<=p;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}
           

參考文章：

https://www.cnblogs.com/Kalix/p/7622102.html

https://www.cnblogs.com/frankchenfu/p/6445843.html

https://blog.csdn.net/tinyguyyy/article/details/51203935