何為DTFT、DFT？他們的關系是什麼？

在剛開始學習數字信号處理時，對于各種傅裡葉變換特别是離散傅裡葉變化的概念及作用完全不清楚，在整理了CSDN、百度百科、知乎上關于DTFT、DFT的各知識點後才算了解，下面是自己的總結加整理集合的資料。

通過下⾯的⽹絡⽂獻得出FS，FFT，DTFT，DFT的關系結論：

在數字信号進行中，對處理數字信号進⾏傅⾥葉變換轉頻域的情況更多，數字信号來⾃于對模拟信号的采樣，即将模拟信号的連續采樣後變為離散，這時得到的離散信号有周期性的有⾮周期性的，對于⾮周期性的離散信号進⾏傅⾥葉變換時為DTFT，對于周期性的離散信号進⾏傅⾥葉變換為DFT。為什麼DFT更适于機器運算？現在⾮常容易了解了：第⼀點，⾮周期性的離散信号序列⽆限⻓，機器是⽆法處理⽆限⻓序列的，那麼周期離散信号存在周期性，可以轉為有限序列，即⼀個周期：第⼆點，⾮周期離散信号經過傅⾥葉變換後在頻域上是周期性且連續的，周期性⽆所謂，連續就要了機器的命了，顯⽽易⻅如果頻域是離散的更容易被機器處理，那麼什麼信号在頻域上是離散且周期的呢，那就是時域上的離散周期信号，即為DFT。

反思：

為什麼之前⽆法了解FFT、DTFT、DFT間的關系，特别是DTFT和DFT間的差別？原因在沒有深刻了解DTFT和DFT的概念，是以沒有悟透DTFT和DFT差的這個時間T的含義。

參考資料部分～

知乎：https://www.zhihu.com/question/21314374/answer/123274564

DTFT是給⼈⽤的，DFT是給機器⽤的，DFT是對DTFT的頻域采樣。

說DFT之前，我們先回憶⼀下以往的⼏種傅⾥葉變換。

1、連續時間周期信号:處理時間連續并且具有周期性的信号，其頻域上離散，⾮周期。

2、連續時間⾮周期信号:處理時間連續但是不具有周期性的信号，其頻域上連續，⾮周期。

3、離散時間⾮周期信号:處理時間離散，不具有周期性的信号，其頻域上連續，有周期性。

4、離散時間周期信号:處理時間離散，具有周期性的信号，其頻域上離散，有周期性。

從理論上來說，這四種變換已經囊括了我們能遇到的信号種類了，那麼為什麼要額外引⼊DFT？從形式上看，DFT與離散時間周期信号的變換⾮常類似，有何原因？

⾸先，我們注意到在數字信号處理⾥⾯，我們接觸的都是離散時間的信号，是以前兩種連續時間的傅⾥葉變換在我們這⼉⽤不到。另外，數字信号處理的⼀個要點就是讨論對數字信号的處理⽅式和算法設計，這⾥所說的處理⽅式不僅僅是⼈⼯的、解析的處理⽅式，更是機器能⽤的處理⽅式。機器的局限性在哪呢？機器不能表達⼀個⽆限⻓的序列，也不能表達連續的頻域特征。對于⼀般的離散時間信号⽽⾔，直接⽤DTFT确實很好，⾮常便于我們分析信号的頻域特征，但問題是這⼀套機器是⽤不了的。是以我們才需要DFT，也就是說DTFT是給⼈⽤的，⽽DFT是給機器⽤的。

所謂DFT的引⼊，我認為主要可以分為兩點，⼀點是截斷，另⼀點是(頻域)采樣。需要截斷，是因為機器⽆法表示⽆限⻓的序列，隻能處理有限⻓序列，這⼀點⽐較好了解。關于采樣，是了解DFT的重點。我們前⾯提到離散⾮周期序列的傅⾥葉變換(DTFT)在頻域上是連續的，這連續的頻域特征機器是⽆法表達的，是以我們需要對它進⾏采樣。⼜由于頻域上具有周期性，隻需要對2pi⻓度的區間采樣即可。那麼應該采多少個點呢？類似于Nyquist采樣定理的做法，我們得出采樣的點數M≥N即可(N表示該序列的⻓度)，為了⽅便起⻅隻需取M=N。由此，DFT的兩個引⼊動機就清楚了:它是對⽆限⻓序列截斷成有限⻓序列，進⾏DTFT以後再在頻域

采樣。

那麼為何DFT的形式和離散時間周期信号的傅⾥葉變換形式類似呢？注意到，有限⻓序列經過周期延拓即可變為周期信号，是以他們之間的相似性也不⾔⽽喻了。不過需要注意的是DFT對有限⻓序列均可以⽤，但離散時間周期信号的傅⾥葉變換隻能處理周期信号，這是本質的不同。

百度百科：

DTFT，它将以離散時間信号X（n）變換到連續的頻域，此時頻譜是周期的，且周期為2pi。

DFT，是傅⾥葉變換在時域和頻域上都呈離散的形式，将信号的時域采樣變換為其DTFT的頻域采樣。

那麼DTFT離散時間傅⾥葉變換和DFT離散傅⾥葉變換，兩個名詞中差的“時間”兩個字代表的到底是什麼？

這個時間代表的不是有限序列，是⾮周期含義。當對離散⾮周期信号進⾏傅⾥葉變換時稱離散時間傅⾥葉變換（可以了解為在時間上也離散的意思，即⾮周期），那麼對離散周期信号進⾏傅⾥葉變換稱為離散傅⾥葉變換DFT。

CSDN：https://blog.csdn.net/lovehua365/article/details/79110950

連續⾮周期	這種信号傅⾥葉變換簡單的叫做傅⾥葉變換FT
連續周期	這種信号傅⾥葉變換叫做傅⾥葉級數FS
離散⾮周期	這種信号傅⾥葉變換叫做離散時間傅⾥葉變換DTFT
離散周期	這種信号傅⾥葉變換叫做離散傅⾥葉變換DFT