矩陣等價-相似-合同

1.矩陣等價

2.矩陣相似

3.矩陣合同

矩陣等價

定義

如果矩陣A經過有限次初等行變換變成矩陣B，就成矩陣A與B行等價。

如果矩陣A經過有限次初等列變換變成矩陣B，就成矩陣A與B列等價。

如果矩陣A經過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價。

性質

反身性：A~A

對稱性：若AB，則BA

傳遞性：若AB,BC,則A~C

推論：

有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那麼這兩個矩陣之間是等價關系。

r(A)=r(B），且A與B為同型矩陣。

矩陣相似

定義

設A、B都是n階矩陣，若有可逆矩陣P，使P(-1)AP=B,則稱B是A的相似矩陣，對A進行運算P(-1)AP稱對A進行的相似變換，可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣。

性質

1.若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項式相同，進而A與B的特征值相同。

2.n階矩陣A與對角矩陣相似（A可以對角化）的充分必要條件是A有n個線性無關的特征向量。

推論

若n階矩陣A與對角矩陣相似，則λ1,λ2,λ3…λn即是A的n個特征值。

如果n階矩陣A的n個特征值互不相等，則A與對角矩陣相似。

A與某對角矩陣相似，B也與該對角矩陣相似，則A與B相似。

|A|=|B|，r(A)=r(B),A與B迹相等。

矩陣合同

一般線上代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中。二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。

定義

b兩個n階矩陣A和B，如果存在可逆矩陣C使得C^(T）AC=B，則稱A與B合同，并稱由A到B的變換為合同變換，稱C為合同變換的矩陣。

性質

一、矩陣等價、相似和合同之間的差別：

1、等價，相似和合同三者都是等價關系。

2、矩陣相似或合同必等價，反之不一定成立。

3、矩陣等價，隻需滿足兩矩陣之間可以通過一系列可逆變換，也即若幹可逆矩陣相乘得到。

4、矩陣相似，則存在可逆矩陣P使得，AP=PB。

5、矩陣合同，則存在可逆矩陣P使得，P^TAP=B。

6、當上述矩陣P是正交矩陣時，即PT=P(-1)，則有A，B之間既滿足相似，又滿足合同關系。

二、矩陣等價、相似、合同之間聯系：

1、矩陣等秩是相似、合同、等價的必要條件，相似、合同、等價是等秩的充分條件。

2、矩陣等價是相似、合同的必要條件，相似、合同是等價的充分條件。

3、 矩陣相似、合同之間沒有充要關系，存在相似但不合同的矩陣，也存在合同但不相似的矩陣。

4、總結起來就是：相似=>等價，合同=>等價，等價=>等秩。