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矩陣的等價,相似,合同,正定判定和關系

目錄

​​了解伴随矩陣​​

​​矩陣等價(秩等)​​

​​向量等價:​​

​​轉置了解:​​

​​矩陣合同(若對稱,正負慣性指數分别相等則合同,A與B在複數域上合同等價于A與B的秩相同)​​

​​矩陣相似:​​

​​正定判定:​​

了解伴随矩陣

在​​線性代數​​​中,一個方形矩陣的​​伴随矩陣​​​是一個類似于​​逆矩陣​​的概念。

如果​​矩陣可逆​​​,那麼它的​​逆矩陣​​​和它的​​伴随矩陣​​​之間隻差一個系數。然而,​​伴随矩陣​​對不可逆的矩陣也有定義,并且不需要用到除法。

矩陣等價(秩等)

定義:如果這兩個矩陣滿足B=QAP(P是n×n階可逆矩陣,Q是m×m階可逆矩陣),那麼這兩個矩陣之間是等價關系。也就是說,存在可逆矩陣(P、Q),使得A經過有限次的初等變換得到B

充要條件:A和B的秩相等

補充:

向量組AB等價(r(A)=r(B)=r(AB);可以互相線形表示;極大線形無關組同)

向量等價:

向量組A,B可以互相線形表示;

但是注意:向量組秩同不能退出向量組等價;

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轉置了解:

  • 就是關于x=y對稱的同體,二維是關于y=x 對稱的平面圖形,三維是關于f(x,y)=x-y 對稱的 立方體或者圖形,但是面積體積不會變的(行列式幾何意義)
  • 以此類推|A轉置|=|A|:可是用行列式值對的意義了解: 二維代表圍成面積,三維代表體積,四維代表超立方體體積以此類推......轉置對應的體的體不變 。

矩陣合同(若對稱,正負慣性指數分别相等則合同,A與B在複數域上合同等價于A與B的秩相同)

1、設A,B均為複數域上的n階對稱矩陣,則A與B在複數域上合同等價于A與B的秩相同。

2、設A,B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價于A與B有相同的正、負慣性指數(即正、負的個數對應相等)。

定義:對同型方陣A、B,存在可逆陣P使得B=PTAPB=PTAP

矩陣相似

比等價嚴苛

定義:對同型方陣A、B,存在可逆陣P,使得B=P−1APB=P−1AP

三者關系:

等價(隻有秩相同)–>合同(秩和正負慣性指數相同)–>相似(秩,正負慣性指數,特征值均相同),矩陣親密關系的一步步深化。(正慣性指數:屬于數學學科,簡稱正慣數,是線性代數裡​​矩陣​​​的正的​​特征值​​個數,也即是規範型裡的系數"1"的個數。實二次型的标準形中,系數為正的平方項的個數為二次型的正慣性指數。)

相似矩陣必為等價矩陣,但等價矩陣未必為相似矩陣 

PQ=EPQ=E 的等價矩陣是相似矩陣

合同矩陣必為等價矩陣,等價矩陣未必為合同矩陣 

正慣性指數相同的等價矩陣是合同矩陣

合同矩陣未必是相似矩陣

相似矩陣未必合同

正交相似矩陣必為合同矩陣,正交合同矩陣必為相似矩陣

如果A與B都是n階實對稱矩陣,且有相同的特征根.則A與B既相似又合同

矩陣相似:

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正定判定:

1 實​​對稱矩陣​​​A正定的充分必要條件是A可以合同于一個主對角元全為正數的對角矩陣

2 實​​​對稱矩陣​​​A正定的充分必要條件是A的特征值全大于零

3 實​​​對稱矩陣​​​A正定的充分必要條件是A的所有順序主子式的值全大于零

4 n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的正慣性指數p= n

5實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于E. 同1,是  1 的特例。

6。定義法(函數 f>0)

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