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了解伴随矩陣
矩陣等價(秩等)
向量等價:
轉置了解:
矩陣合同(若對稱,正負慣性指數分别相等則合同,A與B在複數域上合同等價于A與B的秩相同)
矩陣相似:
正定判定:
了解伴随矩陣
在線性代數中,一個方形矩陣的伴随矩陣是一個類似于逆矩陣的概念。
如果矩陣可逆,那麼它的逆矩陣和它的伴随矩陣之間隻差一個系數。然而,伴随矩陣對不可逆的矩陣也有定義,并且不需要用到除法。
矩陣等價(秩等)
定義:如果這兩個矩陣滿足B=QAP(P是n×n階可逆矩陣,Q是m×m階可逆矩陣),那麼這兩個矩陣之間是等價關系。也就是說,存在可逆矩陣(P、Q),使得A經過有限次的初等變換得到B
充要條件:A和B的秩相等
補充:
向量組AB等價(r(A)=r(B)=r(AB);可以互相線形表示;極大線形無關組同)
向量等價:
向量組A,B可以互相線形表示;
但是注意:向量組秩同不能退出向量組等價;
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轉置了解:
- 就是關于x=y對稱的同體,二維是關于y=x 對稱的平面圖形,三維是關于f(x,y)=x-y 對稱的 立方體或者圖形,但是面積體積不會變的(行列式幾何意義)
- 以此類推|A轉置|=|A|:可是用行列式值對的意義了解: 二維代表圍成面積,三維代表體積,四維代表超立方體體積以此類推......轉置對應的體的體不變 。
矩陣合同(若對稱,正負慣性指數分别相等則合同,A與B在複數域上合同等價于A與B的秩相同)
1、設A,B均為複數域上的n階對稱矩陣,則A與B在複數域上合同等價于A與B的秩相同。
2、設A,B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價于A與B有相同的正、負慣性指數(即正、負的個數對應相等)。
定義:對同型方陣A、B,存在可逆陣P使得B=PTAPB=PTAP
矩陣相似
比等價嚴苛
定義:對同型方陣A、B,存在可逆陣P,使得B=P−1APB=P−1AP
三者關系:
等價(隻有秩相同)–>合同(秩和正負慣性指數相同)–>相似(秩,正負慣性指數,特征值均相同),矩陣親密關系的一步步深化。(正慣性指數:屬于數學學科,簡稱正慣數,是線性代數裡矩陣的正的特征值個數,也即是規範型裡的系數"1"的個數。實二次型的标準形中,系數為正的平方項的個數為二次型的正慣性指數。)
相似矩陣必為等價矩陣,但等價矩陣未必為相似矩陣
PQ=EPQ=E 的等價矩陣是相似矩陣
合同矩陣必為等價矩陣,等價矩陣未必為合同矩陣
正慣性指數相同的等價矩陣是合同矩陣
合同矩陣未必是相似矩陣
相似矩陣未必合同
正交相似矩陣必為合同矩陣,正交合同矩陣必為相似矩陣
如果A與B都是n階實對稱矩陣,且有相同的特征根.則A與B既相似又合同
矩陣相似:
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正定判定:
1 實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A可以合同于一個主對角元全為正數的對角矩陣
2 實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的特征值全大于零
3 實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的所有順序主子式的值全大于零
4 n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的正慣性指數p= n
5實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A合同于E. 同1,是 1 的特例。
6。定義法(函數 f>0)
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