Maxima的一些進階功能

    MAXIMA 是完全可以跟 Mathematica 和 Maple 比美的 CAS。實際上 Mathematica 和 Maple 的很多優點都是從 MACSYMA 身上學來的。

1. 嚴密的邏輯

   Maple 和 Mathematica 經常做錯的東西，MACSYMA 經常會給你一個合理的答複。當然它也會做錯。小心！計算機代數系統給出的答案都有可能是錯誤的，不能完全依賴它們。

   你可以試試積分： integrate(x^i,x) 和 Integrate 1/sqrt(2-2*cos(x)) from x=-pi/2 to pi/2。 Mathematica 4.1 會立即給你一個不完全正确甚至錯誤的答案。

   在這種情況下，MAXIMA 的表現要聰明的多，因為它畢竟有幾十年的經驗。MAXIMA 預設是一個非常嚴密的系統，如果你要積分:

   MAXIMA 會問你：

   這是因為現在我們不知道 i 是否等于 -1。如果 i=-1, 那麼這個積分應該等于 LOG(x)，其中 LOG 是 MAXIMA 的自然對數符号。如果 i 不等于 -1，那麼積分應該等于

   i + 1
   
   
                                       x
   
   
                                       ------
   
   
                                       i + 1
   
   
         

   這樣每次都要問你有時很麻煩，你也可以告訴它，沒有特殊指明的情況下，假設積分裡的符号都是正數：

   它以後遇到 integrate(x^i,x); 就會直接給你

   i + 1
   
   
                                       x
   
   
                                       ------
   
   
                                       i + 1
   
   
         

   而不會再問你問題了。

2. 友善的推理

   不僅嚴密，而且 MAXIMA 有比 Mathematica 和 Maple 友善的推理系統。你跟 MAXIMA 就像在對話：

   看看這個例子： 如果A>=B, B>=C, C>=A, 那麼 A=C 嗎？

   (C1) ASSUME(A>=B, B>=C); 
   
   
   
   
   
   (D1)                           [A >= B, B >= C]
   
   
   (C2) ASSUME(C>=A);
   
   
   
   
   
   (D2)                               [C >= A]
   
   
   (C3) IS(EQUAL(A,B));
   
   
   
   
   
   (D3)                                 TRUE
   
   
         

   另一個例子: 如果 x>y, 那麼x^2 >y^2 嗎？

   (C4) ASSUME(x>y);
   
   
   
   
   
   (D4)                                [x > y]
   
   
   (C5) IS(x^2>=y^2);
   
   
   
   
   
   MACSYMA was unable to evaluate the predicate:
   
   
    2     2
   
   
   x  >= y
   
   
    -- an error.  Quitting.  To debug this try DEBUGMODE(TRUE);)
   
   
         

   MAXIMA 不能回答你，因為 x,y 的符号未知。 現在你告訴它 x 和 y 都是正數：

   (C6) assume(x>0, y>0);
   
   
   
   
   
   (D6)                            [x > 0, y > 0]
   
   
   (C7) is(x^2>y^2);
   
   
   
   
   
   (D7)                                 TRUE
   
   
         

   這下它告訴你答案了。

   它可以根據一些事實來化簡式子。我們有這樣一個複雜的式子：

   (C11) EXP:-K^2*L^2*M^2*N^2-K^2*L^2*N^2+K^2*M^2*N^2+K^2*N^2
   
   
                        2  2  2  2    2  2  2    2  2  2    2  2
   
   
   (D11)             - K  L  M  N  + K  M  N  - K  L  N  + K  N
   
   
         

   我們還有兩個簡單的事實：

   (C12) EQ1:L^2+K^2 = 1
   
   
                                      2    2
   
   
   (D12)                             L  + K  = 1
   
   
   (C13) EQ2:N^2-M^2 = 1
   
   
                                      2    2
   
   
   (D13)                             N  - M  = 1
   
   
         

   讓它根據這兩個事實化簡第一個式子： 得到一個很簡單的答案：

   4  4
   
   
   (D14)                                K  N
   
   
         

3. 抽象代數

   在你還沒有函數的定義時，你就可以聲明這個函數的一些性質。這樣你可以在很多時候大大簡化結果。比如，你可以聲明一個函數是奇函數：

   (C1) DECLARE(F,ODDFUN);
   
   
   
   
   
   (D1)                                 DONE
   
   
   (C2) F(-A); 
   
   
   (D2)                                -F(A)
   
   
         

   F(-A) 以後簡化時就可以被當成 -F(A)。你再聲明 F(X) 是 OUTATIVE:

   (C5) DECLARE(F,OUTATIVE);
   
   
   
   
   
   (D5)                                 DONE
   
   
   (C6) F(3*A);
   
   
   
   
   
   (D6)                                3 F(A)
   
   
         

   這樣，F(3a) 可以被當成 3F(a)。綜合以上兩個事實，我們可以得到：

   (C7)  F(-A)+F(2*A)-F(A);
   
   
   
   
   
   (D7)                                   0
   
   
         

   如果你告訴 MAXIMA，n 是一個整數，那麼它就知道 sin(n pi) = 0.

   (C1) declare(n,integer);
   
   
   (D1) 			    DONE
   
   
   (C2) sin(n*%pi);
   
   
   (D2) 			     0
   
   
         

   你甚至可以定義自己的操作符，它可以有中綴，字首，字尾，nary等各種方式，可以有任意的優先級，可以設定它是左結合還是右結合。比如我們來定義一個NARY操作 "&"，它的優先級是180（預設），它是右結合的。

   (C6) NARY("&");
   
   
   
   
   
   (D6)                                  "&"
   
   
   (C7) declare("&",RASSOCIATIVE);
   
   
   
   
   
   (D7)                                 DONE
   
   
   (C8) x&y&a&b;
   
   
   
   
   
   (D8)                          x & (y & (a & b))
   
   
         

4. 超強的擴充能力

   另外，MAXIMA 是可以用自己的語言或者 LISP 進行擴充的。比如你可以用 recur 包來推導遞推關系：

   (C8) load(recur);
   
   
   
   
   
   (D8)          /usr/share/maxima/5.9.0rc3/share/algebra/recur.mac
   
   
         

   現在我們來解一個“快速排序”的時間複雜度分析裡出現的簡單的遞推關系：

   T(0)=0
   
   
   T(N)=2*T(N-1)+1
   
   
         

   這樣輸入到 MAXIMA:

   (C14) CHAR(T(N+1)-2*T(N),1,T,N,1,[T(0)=0]);
   
   
   
   
   
                                            N
   
   
   (D14)                            T(N) = 2  - 1
   
   
         

   這個 recur 實際上隻是一個200多行的小程式，就可以幫你處理線性遞推關系， 生成函數……

   MAXIMA 有函數式的程式語言，它比通常的過程式語言要強大的多。你甚至可以接觸到它底層的 LISP。Mathematica 的文法就是跟 MACSYMA 學來的。

   MAXIMA 完全是用 LISP 語言寫的，是以它繼承了 LISP 語言天生的特征。它分為上下兩層，上面一層叫做 MAXIMA level，下面一層叫做 LISP level。上下兩層是相通的，如果你懂得 LISP，你可以随時按 Ctrl-C 進入到 LISP 的環境，定義一個函數，然後退回到 MAXIMA 層調用那個函數。當然在 LISP level 還有很多工作可以做。你也可以在 MAXIMA level 定義了函數，然後在 LISP level 進行調用。

摘自：http://docs.huihoo.com/homepage/shredderyin/maxima.html