Maxima的一些高级功能

    MAXIMA 是完全可以跟 Mathematica 和 Maple 比美的 CAS。实际上 Mathematica 和 Maple 的很多优点都是从 MACSYMA 身上学来的。

1. 严密的逻辑

   Maple 和 Mathematica 经常做错的东西，MACSYMA 经常会给你一个合理的答复。当然它也会做错。小心！计算机代数系统给出的答案都有可能是错误的，不能完全依赖它们。

   你可以试试积分： integrate(x^i,x) 和 Integrate 1/sqrt(2-2*cos(x)) from x=-pi/2 to pi/2。 Mathematica 4.1 会立即给你一个不完全正确甚至错误的答案。

   在这种情况下，MAXIMA 的表现要聪明的多，因为它毕竟有几十年的经验。MAXIMA 缺省是一个非常严密的系统，如果你要积分:

   MAXIMA 会问你：

   这是因为现在我们不知道 i 是否等于 -1。如果 i=-1, 那么这个积分应该等于 LOG(x)，其中 LOG 是 MAXIMA 的自然对数符号。如果 i 不等于 -1，那么积分应该等于

   i + 1
   
   
                                       x
   
   
                                       ------
   
   
                                       i + 1
   
   
         

   这样每次都要问你有时很麻烦，你也可以告诉它，没有特殊指明的情况下，假设积分里的符号都是正数：

   它以后遇到 integrate(x^i,x); 就会直接给你

   i + 1
   
   
                                       x
   
   
                                       ------
   
   
                                       i + 1
   
   
         

   而不会再问你问题了。

2. 方便的推理

   不仅严密，而且 MAXIMA 有比 Mathematica 和 Maple 方便的推理系统。你跟 MAXIMA 就像在对话：

   看看这个例子： 如果A>=B, B>=C, C>=A, 那么 A=C 吗？

   (C1) ASSUME(A>=B, B>=C); 
   
   
   
   
   
   (D1)                           [A >= B, B >= C]
   
   
   (C2) ASSUME(C>=A);
   
   
   
   
   
   (D2)                               [C >= A]
   
   
   (C3) IS(EQUAL(A,B));
   
   
   
   
   
   (D3)                                 TRUE
   
   
         

   另一个例子: 如果 x>y, 那么x^2 >y^2 吗？

   (C4) ASSUME(x>y);
   
   
   
   
   
   (D4)                                [x > y]
   
   
   (C5) IS(x^2>=y^2);
   
   
   
   
   
   MACSYMA was unable to evaluate the predicate:
   
   
    2     2
   
   
   x  >= y
   
   
    -- an error.  Quitting.  To debug this try DEBUGMODE(TRUE);)
   
   
         

   MAXIMA 不能回答你，因为 x,y 的符号未知。 现在你告诉它 x 和 y 都是正数：

   (C6) assume(x>0, y>0);
   
   
   
   
   
   (D6)                            [x > 0, y > 0]
   
   
   (C7) is(x^2>y^2);
   
   
   
   
   
   (D7)                                 TRUE
   
   
         

   这下它告诉你答案了。

   它可以根据一些事实来化简式子。我们有这样一个复杂的式子：

   (C11) EXP:-K^2*L^2*M^2*N^2-K^2*L^2*N^2+K^2*M^2*N^2+K^2*N^2
   
   
                        2  2  2  2    2  2  2    2  2  2    2  2
   
   
   (D11)             - K  L  M  N  + K  M  N  - K  L  N  + K  N
   
   
         

   我们还有两个简单的事实：

   (C12) EQ1:L^2+K^2 = 1
   
   
                                      2    2
   
   
   (D12)                             L  + K  = 1
   
   
   (C13) EQ2:N^2-M^2 = 1
   
   
                                      2    2
   
   
   (D13)                             N  - M  = 1
   
   
         

   让它根据这两个事实化简第一个式子： 得到一个很简单的答案：

   4  4
   
   
   (D14)                                K  N
   
   
         

3. 抽象代数

   在你还没有函数的定义时，你就可以声明这个函数的一些性质。这样你可以在很多时候大大简化结果。比如，你可以声明一个函数是奇函数：

   (C1) DECLARE(F,ODDFUN);
   
   
   
   
   
   (D1)                                 DONE
   
   
   (C2) F(-A); 
   
   
   (D2)                                -F(A)
   
   
         

   F(-A) 以后简化时就可以被当成 -F(A)。你再声明 F(X) 是 OUTATIVE:

   (C5) DECLARE(F,OUTATIVE);
   
   
   
   
   
   (D5)                                 DONE
   
   
   (C6) F(3*A);
   
   
   
   
   
   (D6)                                3 F(A)
   
   
         

   这样，F(3a) 可以被当成 3F(a)。综合以上两个事实，我们可以得到：

   (C7)  F(-A)+F(2*A)-F(A);
   
   
   
   
   
   (D7)                                   0
   
   
         

   如果你告诉 MAXIMA，n 是一个整数，那么它就知道 sin(n pi) = 0.

   (C1) declare(n,integer);
   
   
   (D1) 			    DONE
   
   
   (C2) sin(n*%pi);
   
   
   (D2) 			     0
   
   
         

   你甚至可以定义自己的操作符，它可以有中缀，前缀，后缀，nary等各种方式，可以有任意的优先级，可以设定它是左结合还是右结合。比如我们来定义一个NARY操作 "&"，它的优先级是180（缺省），它是右结合的。

   (C6) NARY("&");
   
   
   
   
   
   (D6)                                  "&"
   
   
   (C7) declare("&",RASSOCIATIVE);
   
   
   
   
   
   (D7)                                 DONE
   
   
   (C8) x&y&a&b;
   
   
   
   
   
   (D8)                          x & (y & (a & b))
   
   
         

4. 超强的扩展能力

   另外，MAXIMA 是可以用自己的语言或者 LISP 进行扩展的。比如你可以用 recur 包来推导递推关系：

   (C8) load(recur);
   
   
   
   
   
   (D8)          /usr/share/maxima/5.9.0rc3/share/algebra/recur.mac
   
   
         

   现在我们来解一个“快速排序”的时间复杂度分析里出现的简单的递推关系：

   T(0)=0
   
   
   T(N)=2*T(N-1)+1
   
   
         

   这样输入到 MAXIMA:

   (C14) CHAR(T(N+1)-2*T(N),1,T,N,1,[T(0)=0]);
   
   
   
   
   
                                            N
   
   
   (D14)                            T(N) = 2  - 1
   
   
         

   这个 recur 实际上只是一个200多行的小程序，就可以帮你处理线性递推关系， 生成函数……

   MAXIMA 有函数式的程序语言，它比通常的过程式语言要强大的多。你甚至可以接触到它底层的 LISP。Mathematica 的语法就是跟 MACSYMA 学来的。

   MAXIMA 完全是用 LISP 语言写的，所以它继承了 LISP 语言天生的特征。它分为上下两层，上面一层叫做 MAXIMA level，下面一层叫做 LISP level。上下两层是相通的，如果你懂得 LISP，你可以随时按 Ctrl-C 进入到 LISP 的环境，定义一个函数，然后退回到 MAXIMA 层调用那个函数。当然在 LISP level 还有很多工作可以做。你也可以在 MAXIMA level 定义了函数，然后在 LISP level 进行调用。

摘自：http://docs.huihoo.com/homepage/shredderyin/maxima.html