基礎概念
布爾代數是一種計算符号語言的邏輯推理系統，而邏輯代數被稱之為二值布爾代數，或者說是開關代數。
邏輯變量是用來表示事物的邏輯狀态變化而變化的量，取值隻有0和1；邏輯電平是實體中的離散量，分為高電平和低電平。
邏輯規定由正邏輯和負邏輯兩種，我們一般使用的是正邏輯。也就是1表示高電平，0表示低電平。
邏輯代數是一個集合，包含邏輯變量集，常量0和1，非、與、或三種邏輯運算。
邏輯函數的表示法
邏輯函數的表示法有：
- 真值表
- 邏輯表達式
- 卡諾圖
- 時間圖(信号波形圖)
邏輯代數的基本定理及規則
各種基本運算以及布爾代數的基本公理參見書本以及PPT相關資料。該公理是可以被證明的，使用的方法便是真值表。
邏輯代數的基本定理
邏輯代數的基本定理是應用劃歸邏輯表達式的關鍵。
吸收律
- A + AB = A
- A + !AB = A + B
- AB + A!B = A
- (A + B)(A + !B) = A
反演律
- !(A + B) = !A !B
- !(AB) = !A + !B
包含律(多餘項定理)
- AB + !AC + BC = AB + !AC
- (A + B)(!A + C)(B + C) = (A + B)(!A + C)
邏輯代數的基本規則P23
代入規則
注意，N變量摩根定理可以通過代入規則來證明。
反演規則
對偶規則
邏輯函數的性質
關于複合邏輯的各種表述以及使用的符号詳情參見課本或者是PPT中内容。
特别注意的是同或邏輯中存在着循環的調換律。而且一個邏輯函數的表達形式不唯一。因為與或非中與非、或非均為最小完備組。
最小項與最大項
最小項與最大項是重點内容，注意其下标的不同表示。其中最小項的表示中1代表原變量，0代替其中的反變量，進而構成一個m值；與此相反，最大項的表示中0代表原變量，1代替反變量，進而構成一個M值。
注意最小項和最大項的代号下角标是一緻的。
重要性質
- 對于任意最小項，隻有一組變量組合取值可使其為1；對于任意最大項，隻有一組變量組合可使其為0.
- n變量的所有最小項之和必為1，n變量所有最大項之積必為0；
- 任意兩個最小項之積必為0；任意兩個最大項之和必為1
- 同變量數下表相同的最小項和最大項互為反函數。
函數的最小項和最大項标準式
标準式就是使用m和M的和和積來進行表示。
另外，兩次取反就可以實作函數最小項标準式和最大項标準式之間的轉換。
邏輯函數的化簡
邏輯函數化簡追求的目标是
- 最簡邏輯電路: 門數最少、門的輸入端最少、門的級數最少
- 最簡與或式: 與項的項數最少、每個與項的變量個數最少
- 最簡或與式：或項的數目最少、每個或項的變量個數最少
關于邏輯函數的化簡方法使用的技巧可以參看邏輯函數的運算規則。
通過邏輯函數的運算規則來進行的邏輯函數的化簡方式明顯造成的問題就是太富于技巧性，同時當邏輯函數的元數大于等于4時，化簡的難度很高，就算是可以有效地化出，計算成本也太高。
後續的學習中，使用的基本上是用卡諾圖來求最簡與或式或者是最簡或與式的邏輯函數。
卡諾圖
卡諾圖是數字邏輯中的重中之重。其相關的多變量的變量位置參見書本内容。
邏輯函數在卡諾圖上的表示
- 把給定的邏輯函數化為最小項标準式
- 按變量數化出對應卡諾圖
- 在對應于最小項标準式中各最小項的小方格内标以1
- 所有标有1的小方格合成區域就表示該函數 P82