岡薩雷斯《數字圖像處理》學習筆記（九）形态學圖像處理

目錄

序言

一、集合論基礎

1、集合的子集與相等

2、集合的基本運算符

3、集合的反射和平移

二、二值形态學的基本運算

1、腐蝕

2、膨脹

3、膨脹與腐蝕運算的對偶性

3、開運算與閉運算

4、一些基本的形态學算法

三、二值形态學圖像處理

1、形态濾波

2、邊界提取

3、區域填充

4、骨架提取

5、物體識别

四、灰階形态學基本運算

1、灰階腐蝕   

2、灰階膨脹

3、灰階開運算和灰階閉運算

五、灰階形态學處理算法

1、形态學平衡

2、形态學平衡

3、top—hot變換

序言

形态學圖像處理 

将數學形态學作為工具從圖像中提取表達和描繪區域形狀的有用圖像分量，如邊界、骨架和凸殼等。最常見的有腐蝕和膨脹、開操作和閉操作、擊中和擊不中變換。本章一開始将讨論二值圖像 的處理，之後将擴充到 灰階圖像

形态學圖像分析基本步驟

■提出所要描述的物體幾何結構模式,即提取幾何結構特征;

■根據結構模式選擇相應的結構元素(簡單又有最強的表現力) ;

■用標明的結構元對圖像實行擊中與否(HMT,Hit-Miss-Transform)變換，便得到比原始圖像更顯著突出物體特征資訊的圖像。如賦予相應變量，還可得到定量描述;

■經過形态學變換後的圖像突出我們所需的資訊，進而可以友善提取資訊。

■綜上，HMT是MM圖像分析的核心運算。

在形态學算法設計中，結構元的選擇十分重要，其形狀、尺寸的選擇是能否有效提取資訊的關鍵。選擇的幾個基本原則:

■結構元必須在幾何上比原圖像簡單，且有界;

■當選擇性質相同或相似的結構元時，以選擇極限情況為宜;

■結構元的凸性很重要，對非凸子集，由于連接配接兩點的線段大部分位于集合的外面，故用非凸子集作為結構元将得不到什麼資訊。

數學形态學進行圖像處理的基本思想是:用具有一定形态的結構元素探測目标圖像，通過檢驗結構元素在圖像目标中的可放性和填充方法的有效性，來擷取有關圖像形态結構的相關資訊,進而達到對圖像分析和識别的目的。

一、集合論基礎

1、集合的子集與相等

且當且僅當

和

同時成立時，稱集合A和B集合相等。

2、集合的基本運算符

集合的并

集合的交

集合的補

集合的差

3、集合的反射和平移

集合的反射

由集合A中所有元素相對于原點的反射元素組成的集合稱為集合A的反射，記為 

。

其中x表示集合A中的元素a對應的反射元素。

集合的反射圖示：

集合的平移

由集合A中所有元素平移y= (y1, y2) 後組成的元素集合稱為集合A的平移，記為

其中，x表示集合A中的元素a平移y後形成的元素。

集合平移圖示：

二、二值形态學的基本運算

1、腐蝕

設A為目标圖像，B為結構元素，則目标圖像A被結構元素B腐蝕可定義為:

其中，y是一個表示集合平移的位移量。

腐蝕運算的含義是:每當在目标圖像A中找到一個與結構元素B相同的子圖像時，就把該子圖像中與B的原點位置對應的那個像素位置标注為1，  圖像A上标注出的所有這樣的像素組成的集合，即為腐蝕運算的結果。簡而言之，腐蝕運算的實質就是在目标圖像中标出那些與結構元素相同的子圖像的原點位置的像素。

注意，結構元素中的原點位置可以不為1,但要求目标圖像中的子圖像與結構元素B的原點對應的那個位置的像素值是1。

腐蝕運算的基本過程是:把結構元素B看作為一個卷積模闆，每當結構元素平移到其原點位置與目标圖像A中那些像素值為“1”的位置重合時，就判斷被結構元素覆寫的子圖像的其它像素的值是否都與結構元素相應位置的像素值相同;隻有當其都相同時，就将結果圖像中的那個與原點位置對應的像素位置的值置為“1”，否則置為0。

注意:當結構元素在目标圖像上平移時，結構元素中的任何元素不能超出目标圖像的範圍。

腐蝕舉例：

應用：利用腐蝕算法識别物體

2、膨脹

設A為目标圖像，B為結構元素，則目标圖像A被結構元素B膨脹可定義為：

其中，y是一個表示集合平移的位移量。

膨脹的含義:先對結構元素B做關于其原點的反射得到反射集合

,  然後再在目标圖像A上将

平移y,  則那些

平移後與目标圖像A至少有1個非零公共元素相交時對應的

的原點位置所組成的集合，就是膨脹運算的結果。

膨脹運算的基本過程:

(1)求結構元素B關于其原點的反射集合

;

(2)每當結構元素

在目标圖像A.上平移後，結構元素

與其覆寫的子圖像中至少有一個元素相交時,就将目标圖像中與結構元素

的原點對應的那個位置的像素值置為“1”， 否則置為0。

注意:  (1)當結構元素中原點位置的值是0時，仍把它看作是0；而不再把它看作是1。

          (2)當結構元素在目标圖像上平移時，允許結構元素中的非原點像素超出目标圖像範圍。

膨脹舉例：

應用：利用膨脹運算填充目标區域中的小孔

3、膨脹與腐蝕運算的對偶性

即，對目标圖像的膨脹運算，相當于對圖像背景的腐蝕運算操作；對目标圖像的腐蝕運算，相當于對圖像背景的膨脹運算操作。

腐蝕運算與膨脹運算的對偶性示例：

3、開運算與閉運算

開運算

使用同一個結構元素對目标圖像先進行腐蝕運算，然後再進行膨脹運算稱為開運算。

結構元素B對目标圖像A的開運算定義為：

舉例：

閉運算

使用同一個結構元素對目标圖像先進行膨脹運算，然後再進行腐蝕運算稱為閉運算。

結構元素B對目标圖像A的閉運算定義為：

舉例：

開運算和閉運算的對偶性

閉運算可以使物體的輪廓線變得光滑，具有磨光物體内邊界的作用；而開運算具有磨光圖像外邊界的作用。

4、一些基本的形态學算法

邊界抽取(boundary extraction)

區域填充(region flling)

連接配接分量提取(extraction of connectedcomponents)

凸殼算法(convex hull)

細化(thinning)

粗化(thickening)

骨架(skeletons)

修剪(pruning)

三、二值形态學圖像處理

1、形态濾波

2、邊界提取

邊界提取示例：

3、區域填充

對細胞圖像的區域填充示例：

4、骨架提取

變體

1)細化

結果:在不破壞連通性的前提下，細化圖像

算法實作:

1)做腐蝕操作，但不立刻删除像素，隻打标記;

2)将不破壞連通性的标記點删掉；

3)重複執行，将産生細化結果

2)粗化

結果:  在不合并對象的前提下，粗化圖像。

算法實作:

1)做膨脹操作，但不立刻添加像素，隻打标記；

2)将不産生對象合并的标記點添加進來；

3)重複執行，将産生粗化結果

另一方案:将圖像求反，執行細化，結果再求反

骨架提取執行個體：

5、物體識别

四、灰階形态學基本運算

       灰階形态學是二值形态學向灰階空間的自然擴充。在灰階形态學中，分别用圖像函數f (x, y)和b (x, y)表示二值形态學中的目标圖像A和結構元素B,并把f (x, y)稱為輸入圖像，b (x, y)稱為結構元素，函數中的(x, y)表示圖像中像素點的坐标。

       二值形态學中用到的交和并運算在灰階形态學中分别用最大極值和最小極值運算代替。

1、灰階腐蝕   

  在灰階圖像中，用結構元素b (x, y)對輸入圖像f (x, y)進行灰階腐蝕運算可表示為:

(f

b)(s,t) = min{f(s+x,t+ y)-b(x,y)I(s+ x),(t+ y)∈

;(x,y)∈

}

      其中，

和

分别表示f (x, y)和b(x, y)的定義域。x和y必須位于結構元素的定義域之内，而平移參數(s+x)和(t+y)必須位于的f (x, y)的定義域之内。

      與二值圖像腐蝕運算不同的是:被移動的是輸入圖像f (x, y)函數而不是結構元素b (x, y)。

      灰階腐蝕運算的特點：灰階腐蝕運算的計算是逐點進行的,  求某點的腐蝕運算結果就是:計算該點局部範圍内各點與結構元素中對應點的灰階值之差，并選取其中的最小值作為該點的腐蝕結果。經腐蝕運算後，  圖像邊緣部分具有較大灰階值的點的灰階會降低，是以，邊緣會向灰階值高的區域内部收縮。

灰階腐蝕運算示例：

灰階腐蝕運算的一維函數形式：

利用結構元素b (x)對目标圖像f (x)的腐蝕過程是:在目标圖像的下方“滑動”結構元素，結構元素所能達到的最大值所對應的原點位置的集合即為腐蝕的結果。

腐蝕運算過程示意圖：

2、灰階膨脹

在灰階圖像中，用結構元素b (x, y)對輸入圖像f(x,y)進行灰階膨脹運算可表示為: 

其中，

和

分别表示f (x, y)和b (x, y)的定義域。X和y必須位于結構元素的定義域之内，而平移參數(s+x)和(t+y)必須位于的f (x, y)的定義域之内。

需要注意的是:二值膨脹運算中要求目标圖像集合和結構元素集合相交至少有一個元素。

灰階膨脹運算的特點:灰階膨脹運算的計算是逐點進行的，求某點的膨脹運算結果就是計算該點局部範圍内各點與結構元素中對應點的灰階值之和，并選取其中的最大值作為該點的腐蝕結果。經膨脹運算後，圖像邊緣部分得到了延伸。

灰階膨脹運算示例：

灰階膨脹運算的一維函數形式：

膨脹運算過程示意圖：

3、灰階開運算和灰階閉運算

灰階開運算

用結構元素b對灰階圖像f進行開運算可表示為:

開運算可以通過将求出的所有結構元素的形态學平移都填入目标圖像f下方的極大點來計算。如下圖幾何直覺描述：

灰階閉運算

用結構元素b對灰階圖像f進行閉運算可表示為:

閉運算可以通過求出所有結構元素的形态學平移與目标圖像.上方的極小值點來計算。如下圖幾何直覺描述：

五、灰階形态學處理算法

1、形态學平衡

對添加椒鹽噪聲的Lena圖像的形态學平滑：

2、形态學平衡

使用空間梯度算子對形态學梯度算子對Lena圖像進行處理的結果：

3、top—hot變換