F檢驗的應用

1. 對于正态總體來說，兩個總體的方差比較可以用F-分布來檢驗：

兩個獨立樣本分别來自正态總體1(σ12)和正态總體來2(σ22), 其樣本方差分别為S12 和S22。需通過樣本方差S12 和S22來檢驗兩個正态分布總體的方差是否存在顯著差異。

1.1 建立假設

原假設： σ12 = σ22

備擇假設： σ12 ≠ σ22

1.2 計算F統計值

基于原假設，即σ12=σ22，則 S 1 2 S 2 2 {\frac{S_1^2}{S_2^2}} S22​S12​​的抽樣分布服從F分布，分子自由度為n1-1, 分母自由度為n2-1 。

1.3 确定F臨界值

F的臨界值取決于分子自由度為n1-1, 分母自由度為n2-1 和?值（設定的顯著性水準），通過查F分布值表擷取。

1.4 比較F臨界值與F統計值，得出結論

将F臨界值與F= S 1 2 S 2 2 {\frac{S_1^2}{S_2^2}} S22​S12​​進行比較, 若F統計值>F臨界值，得出方差存在顯著差異（有統計學意義），接受原假設； 反之，方差不存在顯著差異（無統計學意義），拒絕原假設，接受備擇假設。

1. F檢驗應用于方差分析(Analysis of variance，簡稱ANOVA)

2.1 方差分析的前提：

(1)對于每個總體，因變量均服從正态分布；

(2)每個總體的方差σ²相同；

(3)從每個總體中抽取的樣本是互相獨立的。

有k個總體均服從正态分布，且方差相等，均值分别為?1, ?2, …, ?k, 需判定這些均值是否具有顯著性的差異。

現從這些總體中承機抽取得到k個樣本，數量分别為n1, n2, …, nk。

2.2 檢驗步驟：

a. 提出假設

原假設： ?1= ?2=…=?j=…=?k

備擇假設：總體均值不全相等

b. 計算基礎資料

各樣本均值： x ‾ j = ∑ i = 1 n j x i j n j \overline x_j = {\frac {\sum_{{i=1}}^{n_{j}} x_{ij}}{n_{j}}} xj​=nj​∑i=1nj​​xij​​

各樣本方差： S j 2 = ∑ i = 1 n j ( x i j − x ‾ j ) 2 n j − 1 S_j^2 = {\frac {\sum_{{i=1}}^{n_{j}} (x_{ij}-\overline x_j)^2}{n_{j}-1}} Sj2​=nj​−1∑i=1nj​​(xij​−xj​)2​

所有樣本的均值： x ‾ ‾ = ∑ j = 1 k ∑ i = 1 n j x i j n r \overline {\overline x }= {\frac {\sum_{{j=1}}^{k} \sum_{{i=1}}^{n_{j}}x_{ij}}{n_r}} x=nr​∑j=1k​∑i=1nj​​xij​​, 其中nr = n1 + n2 + … + nk。

c. 總體方差的組間估計：

處理平方和：SSTR (sum of squares due to treatments)

S S T R = ∑ j = 1 k n j ∗ ( x ‾ j − x ‾ ‾ ) 2 SSTR = \sum_{{j=1}}^{k} n_{j}* (\overline x_{j} - \overline {\overline x})^2 SSTR=j=1∑k​nj​∗(xj​−x)2

處理均方：MSTR （mean square due to treatments)

M S T R = S S T R k − 1 = ∑ j = 1 k n j ∗ ( x ‾ j − x ‾ ‾ ) 2 k − 1 MSTR = {\frac {SSTR}{k-1}} = {\frac {\sum_{{j=1}}^{k} n_{j}* (\overline x_{j} - \overline {\overline x})^2}{k-1}} MSTR=k−1SSTR​=k−1∑j=1k​nj​∗(xj​−x)2​

d. 總體方差的組内估計

誤差均方：MSE (mean square due to error)

M S E = ∑ j = 1 k ( n j − 1 ) ∗ S j 2 n r − k MSE = {\frac {\sum_{{j=1}}^{k} (n_{j}-1)* S_{j}^2}{n_{r}-k}} MSE=nr​−k∑j=1k​(nj​−1)∗Sj2​​

MSE為無偏估計，是基于每個處理内部的變動，不受原假設是否為真的影響。

e. 方差估計量的比較：F檢驗

檢驗統計量 F = M S T R M S E F = {\frac {MSTR}{MSE}} F=MSEMSTR​

對于給定的?值， 若F > F?，則拒絕原假設，接受備擇假設，即這些總體的均值不全相等。