從今天起，我會定期寫些關于 Coronavirus 的數學模型。讀者最好有些微積分基礎，會點簡單的程式設計。不會也沒有關系，會點四則運算（加減乘除）就可以試着去了解模型。強調一點，數學模型是對現實世界的抽象和簡化。真實情況比數學模型複雜多了。
我們把人群分成兩類：和，它們都是時間的函數。
- 易感人數
- 感染人數.
數學模組化就是找出這些函數滿足的方程，然後求解方程，進而預測以後的情況。
模型
記為總人口數。這個是已知的，而且是不變的。ODE 方程組是：
初始條件是,，滿足。
這裡用到的參數是感染率，代表感染人數占總人口的比例。
借用化學反應的表達式，可以簡潔的把方程表示成：
解釋
代表感染人數占總人口的比例，也代表遇到感染者的機率。比如說，，那你就有一半的機率碰到感染者。易感人群乘上這個比例就意味着有多少易感者接觸到了生病的人。
但并不是碰到就感染了。有個傳染的機率，這個就是。比如，就是說你（沒生病的人）碰到了生病的人之後，被傳染的可能性是十分之一。
感染人數增加的速度就等于。
這部分人增加到感染人群，自然就要從易感人群中減掉。這就是第一個關于的方程。
數值方法
最簡單的是向前歐拉法。我們先回顧一下導數的定義
在向前歐拉法裡，我們標明一個時間步長，把導數換成差商，代入原方程組。兩邊乘以，就得到了下面的方程組
我們來看一個簡單的例子。取，這個可以代表一天，一個小時或是一個月，取決于具體情況下時間的機關。這裡我們不妨就了解成一天，那麼方程組可以寫成
是易感人群數目，感染人數增加的數目是。明天的感染人數等于今天的人數加上新增的人數。同時易感人數要減掉這部分數目。
是以隻需要簡單的四則運算就能夠了解這個模型。
從初始值開始, 根據差分方程我們能夠計算第一天的，然後用第一天算第二天的，重複下去就能夠計算以後所有時間的。
向前歐拉法主要的問題是穩定性。如果時間步長 太大，求出來的數值解就會偏離真實解，甚至有可能跑到無窮大。
關于 ODE的數值方法，可以參見本公衆号之前的系列文章：
- ODE 數值方法（1）：方法簡介
- ODE 數值方法 (2) ：截斷誤差和二階方法
- ODE 數值方法（3）：截斷誤差分析
- 數值積分公式的推廣：龍格庫塔法（一）
- 龍格庫塔法（二）
解析解
對于 SI 這個簡單模型是可以把解顯示地寫出來的。首先把兩個方程相加得到，是以。就是說人口總數保持不變。
從這個等式中可以解出，然後代入第二個方程，我們就得到了一個一階常微分方程
用分離變量法可以求得
這個函數是一個标準的 logistic 函數。在機器學習裡，也稱之為 sigmoid 函數。
讓時間跑向無窮，我們得到
這真是一個悲傷的結論：最終所有人都要感染。
我們取, 對不同的傳染率畫了幾個關于感染人數的圖。第二張圖是的導數的圖。雖然最終都要感染，但不同的感染率，對應的峰值高度和峰值發生的時間是不同的。
這個和 flatten curve 相關，但還不是。在後面的 SIR 模型裡，我們再來講 flatten curve。
讨論
根據對稱性，當時，的二階導數等于0，求解，我們得到高峰時刻的表達式.
感染人數的一階導數總是大于零的，就是說總是增加的，但是增加的速度（一個簡單例子就是每日新增人數）是在變的，在時刻增長達到頂峰.
在後面要讨論的更複雜的模型裡，這一點也差不多是對的。是以預測感染總人數的簡單倍增規律是：當觀察到日增人數（穩定）減少時，把日增人數高峰期的感染人數翻倍就得到總人數了。
注意一定要穩定減少時，因為統計誤差，經常會出現一兩天的回落，然後又漲回去了。要模拟這種漲落，需要用到随機微分方程。
感染的人可能會死掉。我們可以在關于的方程裡加入一個損耗項，其中是死亡率。這樣方程變為
習題 求解上述ODE方程組。
這個時候總人口就不是恒定的了。把兩個方程加起來，我們得到
如果有感染人數，總人口将減少。如果最終所有人都要得病，那麼還意味着，所有人都會得病死去。
是這樣嗎？
建議大家試着去求解這個方程組（解析或者數值都行），看看情況是怎麼樣的。
提示: 對不同的參數和分别進行讨論。
在 SI 模型裡面，所有人都會得病。這看起來有點太悲慘了，也不大可能發生。
問題在哪？
問題之一：得了病的人還可以恢複。是以光有這兩部分還是不夠的，在下一節裡，我們将讨論 SIR 模型，多引入一個函數
也有些病是無法痊愈的，比如艾滋病 ( AIDS )。那麼 SI 模型适合嗎？我們這個社會是存在艾滋病毒攜帶者的，如果用 SI 模型的話，那麼意味着我們都将患上艾滋？
很顯然，這是不可能的。
問題之二：在 ODE 模型裡，我們假設每個人都會遇到其他人，還假設這種傳染病是接觸傳染的。
這個假設對艾滋病是不對的。
要更精确地描述這種連接配接性，我們需要引入圖論和網絡，定義人與人之間的連接配接性。很顯然對艾滋病而言，不是所有人都連接配接在一起的。