模型預測控制（MPC）的穩定性證明——終端限制

作為一種在有限時域内進行滾動優化求解的控制算法，模型預測控制（Model Predictive Control，MPC）的穩定性更引入關注。自從上世紀80年代後期MPC在工業界的成功應用倒逼學術界進行理論研究後，關于MPC的穩定性逐漸得到了證明并出現了在不同基礎上的思路，本文主要講述其中采用添加終端限制（terminal constraints）的方法。參考内容是Maciejowski的Predictive control: with constraints這本書。

這裡考慮一個一般性的被控對象的模型：

x(k+1)=f(x(k),u(k))

在每個周期的控制作用是通過求解下面這個優化命題得到的：

V(k)=∑i=1Nℓ(x^(k+i|k),u^(k+i−1|k))

這裡 ℓ(x,u)≥0 ， ℓ(x,u)=0 當且僅當 x=0 且 u=0 。同時我們在這裡加上終端限制： x^(k+N|k)=0

在這裡為了簡明起見，我們令控制時域和預測時域都相等且為 N . 同時要說明的是，這裡的 u 和 x 都是帶有限制的，即：u^(k+i|k)∈U,x^(k+i|k)∈X

其中 U 和 X 都是包含原點的非空集合。同時我們假設 u=0 和 x=0 是系統的一個平衡狀态（equilibrium condition），即 0=f(0,0) 。并且在每個時刻求解得到的最優序列： {u0(k+i|k):i=0,...,N−1} 中，隻有第一個控制作用 u0(k|k) 被施加到對象上。

在如上所述的情況下，如果我們再假設每個周期的優化命題都有可行解且能求解得到全局最優，那麼我們可以認定系統在 u=0 和 x=0 處是穩定的。

證明如下：

這裡穩定性的證明采用了控制理論中傳統的Lyapunov穩定性證明，即就是找到系統的一個Lyapunov函數，該函數正定而其倒數負定（即函數值遞減）。這裡的思路就是以每個周期的優化命題目标函數的最優值（即 V0(k) ）作為Lyapunov函數。 V0(k) 的正定性在前面的假設中已經有所說明。現在需要證明的就是其倒數的負定性，即 V0(k+1)≤V0(k) 。

與其他的穩定性證明方法相同，我們在這裡假設模型是無偏的，且不考慮噪聲的幹擾。是以預測得到的系統狀态與實際對象的狀态一緻，即如果 u(k+i)=u^(k+i|k) ，則 x(k+i)=x^(k+i|k) 。于是有：

V0(k+1)=minu∑i=1Nℓ(x(k+i+1),u(k+i))=minu{∑i=1Nℓ(x(k+i),u(k+i−1))−ℓ(x(k+1),u(k))+ℓ(x(k+1+N),u(k+N))}=−ℓ(x(k+1),u(k))+minu{∑i=1Nℓ(x(k+i),u(k+i−1))+ℓ(x(k+1+N),u(k+N))}≤−ℓ(x(k+1),u0(k))+V0(k)+minu{ℓ(x(k+1+N),u(k+N))}

相對于原書中關于上式的推導，我在不等号前添加了一步以更大程度上便于了解，能把 −ℓ(x(k+1),u(k)) 一項從優化命題中提出來是因為原優化命題的決策變量 u 是從 k+1 時刻開始的，是以 u(k) 的取值并不影響優化命題的結果。

在上式的基礎上，因為我們已經添加了終端限制，即 x^(k+N|k)=0 ，是以我們可以保證上式中的

minu{ℓ(x(k+1+N),u(k+N))}=0

同時因為 ℓ(x(k+1),u(k))≥0 ，是以我們就證明了 V0(k+1)≤V0(k) 。是以 V0(k) 是原系統的一個Lyapunov函數，原系統在原點處的Lyapunov穩定性可以得到證明。 □

關于MPC穩定性的證明和Lyapunov函數的意義，可以參考朱豫才老師的一篇博文：李雅普諾夫穩定性理論之批判。

Ref.

Maciejowski, J. M. (2002). Predictive control: with constraints. Pearson education.