有限元（FEM) 、有限差分(FDM)和有限體積（FVM) 的優勢和劣勢

前言: 偏微分方程的類型

偏微分方程(組)可以把它的算子提出來, 構成算子代數方程(組). 然後根據算子代數方程(組)的特征值來區分是橢圓的, 雙曲的, 還是抛物型的.具體可以翻看各類數學實體方程或者偏微分方程的教材, 一般前兩章必講.

工程中碰到的橢圓方程(組)有

• 彈性力學中的各種方程組, 幾乎都是橢圓的
• 熱傳導方程, 如果不含時間項(定常)

工程中碰到的純雙曲方程不多, 各種波動方程一般都是雙曲的

• 聲波傳導, 各類波動方程, 隻能在教科書的例子中見到

工程中的純抛物問題也不多, 各種發展類型的實體問題大多數是抛物型的,比如

• 非定常熱傳導(純抛物型的)

下面我們要說一些nb的方程了, 多類型混合的, 上面已經說了, 工程界碰到的純粹抛物和純粹雙曲的都不多, 而且單類型的方程都不是被人搞出解析解了, 就是用數值方法解決的很好了.

抛物型最容易和其他兩種結合搞出難以求解的方程, 比如

• 弱可壓縮流體(比如亞聲速燃燒, 風場等), 橢圓-抛物方程, 因為抛去時間項後, 展現為橢圓方程的特征, 這種一般好求解
• 各類液體流動方程, 同上

雙曲-抛物型方程比較nb, 我們專門說

• 空氣動力學方程組, 波瀾壯闊如雷貫耳, 典型的雙曲-抛物型.  你就算抛去時間項, 還是雙曲型的. 雙曲已經很難搞, 疊加一個抛物屬性, 有多難随便你想.
• 電磁學Maxwell方程組, 特征速度就是光速, CFL條件你要怎麼提?

雙曲型方程是可以搞出間斷的, 在空氣動力學中就是激波, 是以含有雙曲屬性的工業問題, 在學術界都是老大難.

三類方法的優缺點

有限元(Finite Element Method)

橢圓方程适合用有限元，當然橢圓方程用什麼都可以，隻不過有限元方法之于橢圓方程就好比青椒對瘦肉，絕配。那些求解結構強度, 結構動響應的 都用有限元.前面說了, 這些問題大多都是橢圓型方程, 就算是帶了非定常時間項, 也可以用各類方法把時間項折疊(folding)到空間項中, 用有限元方法求解. 橢圓方程中沒有間斷, 怎麼折騰都可以. 你們用到的ansys, abaqus核心求解器都是典型的有限元方法.

有限差分(Finite Difference Method)

有限差分百搭，解什麼都可以，隻不過有限差分大多要求結構網格，一般學術研究中用得多。

有限差分還有個不大不小的優勢，就是能利用結構網格的拓撲優勢輕松擴大模闆，構造出高精度格式。

電磁學領域有些軟體會用FDTD(時域有限差分)方法, 個人見過的為數不多的在工業軟體領域采用差分的例子

有限體積法(Finite Volume Method)

有限體積法就比較強大了。除了高精度構造略微麻煩，幾乎通吃有限差分所有領域，雙曲性、抛物型、橢圓形都可以。當然對于橢圓形方程，不如有限元方法更搭配. 看看這些如雷貫耳的軟體, fluent, star-cd, cfx, esi-fastran, esi-ace, openfoam, su2等等全是有限體積法,你就知道有限體積法的強大了.

三種方法中有限元和有限體積對計算域（幾何區域）複雜度适應性好，而有限差分就是差很多了，是以FEM和FVM都是工程軟體的首選，現在甚至學術界幾乎都用FEM和FVM了，而FDM隻是學生入門的時候用用。