電機學習筆記1——坐标變換與永磁同步電機的數學模型

最近開始學習電機控制，僅以此記錄自己的學習進度。

一、坐标變換

1.1. 三相靜止坐标系( a b c abc abc)和兩相靜止坐标系( α / β \alpha/\beta α/β)之間的變換

根據圖中所示 a b c abc abc坐标系和 α β \alpha\beta αβ坐标系之間的關系，可以列出以下等式

U α = U a − U b c o s ( π 3 ) − U c c o s ( π 3 ) U β = U b c o s ( π 6 ) − U c c o s ( π 6 ) U_\alpha = U_a - U_bcos(\frac \pi3) - U_ccos(\frac \pi3) \\ U_\beta = U_bcos(\frac \pi6) - U_ccos(\frac \pi6) Uα​=Ua​−Ub​cos(3π​)−Uc​cos(3π​)Uβ​=Ub​cos(6π​)−Uc​cos(6π​)

化簡即可得到 a b c abc abc坐标系轉為 α β \alpha\beta αβ坐标系的變換矩陣，即 C l a r k e Clarke Clarke變換：

(1.1) [ U α U β ] = K [ 1 − 1 2 − 1 2 0 3 2 − 3 2 ] [ U a U b U c ] \left[ \begin{matrix} U_\alpha\\ U_\beta\\ \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} 1 & -\frac12 & -\frac12 \\ 0 & \frac {\sqrt3}2 & -\frac {\sqrt3}2 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c\\ \end{matrix} \right] \tag {1.1} [Uα​Uβ​​]=K[10​−21​23

​​​−21​−23

​​​]⎣⎡​Ua​Ub​Uc​​⎦⎤​(1.1)

考慮變換前後的幅值相等，則式中 K K K等于 2 3 \frac 23 32​；如果要求變換前後功率等，則式中 K K K等于 2 3 \sqrt\frac 23 32​

​。很多資料都沒有詳細說明這兩種變換的系數是怎麼來的，一度讓我很疑惑。通過查資料和推導，終于怎麼回事了。恒幅值變換是指 U α U_\alpha Uα​的幅值和 U a U_a Ua​相等，而恒功率變換是指變換前後的功率相等，下面給出推導過程。

設三相電壓是平衡的，其幅值為 U m a x U_{max} Umax​，則：

(1.2) [ U a U b U c ] = U m a x [ c o s ( φ ) c o s ( φ − 2 π 3 ) c o s ( φ + 2 π 3 ) ] \left[ \begin{matrix} U_a \\ U_b \\ U_c \end{matrix} \right]= U_{max}\left[ \begin{matrix} cos(\varphi) \\ cos(\varphi - \frac {2\pi}3) \\ cos(\varphi + \frac {2\pi}3) \end{matrix} \right] \tag {1.2} ⎣⎡​Ua​Ub​Uc​​⎦⎤​=Umax​⎣⎡​cos(φ)cos(φ−32π​)cos(φ+32π​)​⎦⎤​(1.2)

将式 ( 1.2 ) (1.2) (1.2)代入式 ( 1.1 ) (1.1) (1.1)中，可以得到 U α U_\alpha Uα​的表達式如下：

U α = U m a x ( c o s φ − 1 2 c o s ( φ − 2 π 3 ) − 1 2 c o s ( φ + 2 π 3 ) = 3 2 c o s φ U_\alpha = U_{max}(cos\varphi - \frac 12cos(\varphi - \frac {2\pi}3)- \frac 12cos(\varphi + \frac {2\pi}3) = \frac 32cos\varphi Uα​=Umax​(cosφ−21​cos(φ−32π​)−21​cos(φ+32π​)=23​cosφ

可見變換後的 U α U_\alpha Uα​幅值是變換前 U a U_a Ua​的1.5倍。是以，為了使 U a U_a Ua​的幅值與 U α U_\alpha Uα​的幅值相等，則需要在變換矩陣前乘以 2 3 \frac 23 32​。

設變換前的電壓有效值是 U U U，電流有效值是 I I I,則容易得出變換後的有效值是 1.5 U 1.5U 1.5U，電流有效值是 1.5 I 1.5I 1.5I。可以分别得出變換前後的功率 P 1 P_1 P1​和 P 2 P_2 P2​：

P 1 = U ∗ I ∗ 3 = 3 U I P 2 = 1.5 U ∗ 1.5 I ∗ 2 = 4.5 U I P_1 = U*I*3 = 3UI\\ P_2 = 1.5U*1.5I*2 = 4.5UI P1​=U∗I∗3=3UIP2​=1.5U∗1.5I∗2=4.5UI

可見變換前後的功率不相等，需要給變換矩陣乘以一個系數 K K K使其相等。當變換矩陣乘以系數 K K K之後，變換前後的功率的表達式如下：

P 1 = U ∗ I ∗ 3 = 3 U I P 2 = 1.5 ∗ K ∗ U ∗ 1.5 ∗ K ∗ i ∗ 2 = 4.5 K 2 U I P_1 = U*I*3 = 3UI \\ P_2 = 1.5*K*U*1.5*K*i*2 = 4.5K^2UI P1​=U∗I∗3=3UIP2​=1.5∗K∗U∗1.5∗K∗i∗2=4.5K2UI

令式中 P 1 = P 2 P_1 = P_2 P1​=P2​,即可得到 K = 2 3 K = \sqrt{\frac 23} K=32​

​。

是以，在式 ( 1.1 ) (1.1) (1.1)中，當 K = 2 3 K=\frac 23 K=32​,則為恒幅值變換；當 K = 2 3 K=\sqrt{\frac 23} K=32​

​,則為恒功率變換。

根據同樣的思路，或者可以得到 C l a r k Clark Clark反變換表達式：

(1.3) [ U a U b U c ] = K [ 1 0 − 1 2 3 2 − 1 2 − 3 2 ] ] [ U α U β ] \left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c\\ \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} 1 & 0\\ -\frac 12 & \frac {\sqrt3}2\\ -\frac 12 & -\frac {\sqrt3}2]\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_\alpha\\ U_\beta \end{matrix} \right] \tag {1.3} ⎣⎡​Ua​Ub​Uc​​⎦⎤​=K⎣⎢⎡​1−21​−21​​023

​​−23

​​]​⎦⎥⎤​[Uα​Uβ​​](1.3)

其中，當 K = 2 3 K=\frac 23 K=32​,則為恒幅值變換；

當 K = 2 3 K=\sqrt{\frac 23} K=32​

​,則為恒功率變換。

式 ( 1.1 ) (1.1) (1.1)中的矩陣和式 ( 1.3 ) (1.3) (1.3)中的矩陣相乘的結果是機關矩陣。

1.2 兩相靜止坐标系( α β \alpha\beta αβ)和兩相旋轉坐标系( d q dq dq)之間的變換

根據圖中所示 α β \alpha\beta αβ坐标系和 d q dq dq坐标系之間的關系，可以列出以下等式:

U d = U α c o s θ + U β s i n θ U q = − U α s i n θ + U β c o s θ U_d = U_\alpha cos\theta + U_\beta sin\theta\\ U_q = -U_\alpha sin\theta + U_\beta cos\theta Ud​=Uα​cosθ+Uβ​sinθUq​=−Uα​sinθ+Uβ​cosθ

于是可以得到 α β \alpha\beta αβ坐标系轉換為 d q dq dq坐标系的變換矩陣，即 P a r k Park Park變換：

(1.4) [ U d U q ] = [ c o s θ s i n θ − s i n θ c o s θ ] [ U α U β ] \left[ \begin{matrix} U_d\\ U_q \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_\alpha \\ U_\beta \end{matrix} \right] \tag {1.4} [Ud​Uq​​]=[cosθ−sinθ​sinθcosθ​][Uα​Uβ​​](1.4)

同理，由圖中也可以将 α β \alpha\beta αβ坐标系下的向量由 d q dq dq坐标表示：

U α = U d c o s θ − U q s i n θ U β = U d s i n θ + U q c o s θ U_\alpha = U_dcos\theta - U_qsin\theta \\ U_\beta = U_dsin\theta + U_qcos\theta \\ Uα​=Ud​cosθ−Uq​sinθUβ​=Ud​sinθ+Uq​cosθ

于是可以得到 d q dq dq坐标系轉換為 α β \alpha\beta αβ坐标系的變換矩陣，即 P a r k Park Park反變換：

(1.5) [ U α U β ] = [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] [ U d U q ] \left[ \begin{matrix} U_\alpha \\ U_\beta \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_d \\ U_q \end{matrix} \right] \tag{1.5} [Uα​Uβ​​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][Ud​Uq​​](1.5)

1.3 三相靜止坐标系（ a b c abc abc）和兩相旋轉坐标系( d q dq dq)之間的變換

結合 C l a r k e Clarke Clarke變換和 P a r k Park Park變換可以得到 a b c abc abc坐标系和 d q dq dq坐标系之間的變換如下：

(1.6) [ U d U q ] = K [ c o s θ c o s ( θ − 2 π 3 ) c o s ( θ + 2 π 3 ) − s i n θ − s i n ( θ − 2 π 3 ) − s i n ( θ + 2 π 3 ) ] [ U a U b U c ] \left[ \begin{matrix} U_d \\ U_q \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} cos\theta & cos(\theta - \frac {2\pi}3) & cos(\theta + \frac {2\pi}3) \\ -sin\theta & -sin(\theta - \frac {2\pi}3) & -sin(\theta + \frac {2\pi}3) \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c \end{matrix} \right] \tag{1.6} [Ud​Uq​​]=K[cosθ−sinθ​cos(θ−32π​)−sin(θ−32π​)​cos(θ+32π​)−sin(θ+32π​)​]⎣⎡​Ua​Ub​Uc​​⎦⎤​(1.6)

恒幅值變換時， K = 2 3 K=\frac 23 K=32​;恒功率變換時， K = 2 3 K = \sqrt {\frac 23} K=32​

​。

其反變換為：

(1.7) [ U a U b U c ] = K [ c o s θ − s i n θ c o s ( θ − 2 π 3 ) − s i n ( θ − 2 π 3 ) c o s ( θ + 2 π 3 ) − s i n ( θ + 2 π 3 ) ] [ U d U q ] \left[ \begin{matrix} U_a\\ U_b\\ U_c \end{matrix} \right]= K\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ cos(\theta - \frac {2\pi}3) & -sin(\theta - \frac{2\pi}3) \\ cos(\theta + \frac {2\pi}3) & -sin(\theta + \frac{2\pi}3) \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} U_d\\ U_q \end{matrix} \right] \tag{1.7} ⎣⎡​Ua​Ub​Uc​​⎦⎤​=K⎣⎡​cosθcos(θ−32π​)cos(θ+32π​)​−sinθ−sin(θ−32π​)−sin(θ+32π​)​⎦⎤​[Ud​Uq​​](1.7)

恒幅值變換時， K ＝ 1 K＝1 K＝1;恒功率變換時， K = 2 3 K = \sqrt {\frac 23} K=32​

​。

二、永磁同步電機的數學模型

2.1 永磁同步電機在三相靜止 ( a b c ) (abc) (abc)坐标系下的數學模型

永磁同步電機在三相靜止坐标系下的磁鍊方程為

(2.1) [ ψ a ψ b ψ c ] = [ L a a M a b M a c M b a L b b M b c M c a M c b L c c ] [ i a i b i c ] + ψ f [ c o s θ c o s ( θ − 2 π 3 ) c o s ( θ + 2 π 3 ] ] \left[ \begin{matrix} \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} L_{aa} & M_{ab} & M_{ac}\\ M_{ba} & L_{bb} & M_{bc}\\ M_{ca} & M_{cb} & L_{cc}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a\\ i_b\\ i_c \end{matrix} \right] + \psi_f\left[ \begin{matrix} cos\theta \\ cos(\theta - \frac {2\pi}3) \\ cos(\theta + \frac {2\pi}3] \end{matrix} \right] \tag {2.1} ⎣⎡​ψa​ψb​ψc​​⎦⎤​=⎣⎡​Laa​Mba​Mca​​Mab​Lbb​Mcb​​Mac​Mbc​Lcc​​⎦⎤​⎣⎡​ia​ib​ic​​⎦⎤​+ψf​⎣⎡​cosθcos(θ−32π​)cos(θ+32π​]​⎦⎤​(2.1)

式中:

ψ f \psi_f ψf​——永磁體磁鍊；

θ \theta θ——電機轉子磁極位置，即永磁體N極與 a a a相軸線之間的夾角；

L a a 、 L b b 、 L c c L_{aa}、L_{bb}、L_{cc} Laa​、Lbb​、Lcc​——定子繞組的自感，且在理想情況下， L a a = L b b = L c c L_{aa} = L_{bb} = L_{cc} Laa​=Lbb​=Lcc​;

ψ a 、 ψ b 、 ψ c \psi_a、\psi_b、\psi_c ψa​、ψb​、ψc​——三相靜止坐标系下的定子磁鍊；

M a b 、 M a c 、 M b a 、 M b c 、 M c a 、 M c b M_{ab}、M_{ac}、M_{ba}、M_{bc}、M_{ca}、M_{cb} Mab​、Mac​、Mba​、Mbc​、Mca​、Mcb​——定子三相繞組間的互感。

永磁同步電機在三相靜止坐标系下的定子電壓方程為：

(2.2) [ u a u b u c ] = [ R s 0 0 0 R s 0 0 0 R s ] [ i a i b i c ] + p [ ψ a ψ b ψ c ] \left[ \begin{matrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} R_s & 0 & 0 \\ 0 & R_s & 0 \\ 0 & 0 & R_s \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{matrix} \right] + p\left[ \begin{matrix} \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix} \right] \tag {2.2} ⎣⎡​ua​ub​uc​​⎦⎤​=⎣⎡​Rs​00​0Rs​0​00Rs​​⎦⎤​⎣⎡​ia​ib​ic​​⎦⎤​+p⎣⎡​ψa​ψb​ψc​​⎦⎤​(2.2)

式中:

u a 、 u b 、 u c u_a、u_b、u_c ua​、ub​、uc​——定子三相電壓；

R s R_s Rs​——定子電阻；

i a 、 i b 、 i c i_a、i_b、i_c ia​、ib​、ic​——定子三相電流;

p p p——微分算子，表示對時間的微分。

式 ( 2.2 ) (2.2) (2.2)的實體意義表明，定子三相電壓是由定子電阻上的電壓和電感（包括自感和互感）電壓相加得來的。

永磁同步電機在三相靜止坐标系下的轉矩方程為：

(2.3) T e = 1 2 p n ψ f ( i a c o s θ + i b c o s ( θ − 2 π 3 ) + i c c o s ( θ + 2 π 3 ) ) T_e = \frac 12 p_n \psi_f (i_acos\theta + i_bcos(\theta - \frac {2\pi}3)+i_ccos(\theta + \frac {2\pi}3)) \tag {2.3} Te​=21​pn​ψf​(ia​cosθ+ib​cos(θ−32π​)+ic​cos(θ+32π​))(2.3)

式中：

T e T_e Te​——電機的電磁轉矩；

p n p_n pn​——電機的極對數。

電機的運動方程為：

(2.4) T e = T L + J p n d ω e d t + B p n ω e + K p n θ T_e = T_L + \frac Jp_n\frac {d\omega_e}{dt} + \frac B{p_n} \omega_e + \frac K{p_n}\theta \tag {2.4} Te​=TL​+pJ​n​dtdωe​​+pn​B​ωe​+pn​K​θ(2.4)

式中：

T L T_L TL​——負載轉矩；

B B B——摩擦系數；

K K K——扭矩系數；

J J J——轉動慣量。

ω e \omega_e ωe​——電氣角速度。與機械角速度的關系是： ω e = p n ω \omega_e = p_n\omega ωe​=pn​ω。

2.2 永磁同步電機在兩相同步旋轉 ( d q ) (dq) (dq)坐标系下的數學模型

永磁同步電機在兩相同步旋轉坐标系下的電壓方程為：

(2.5) { u d = R s i d + p ψ d − ω r ψ q u q = R s i q + p ψ q + ω r ψ d \left\{ \begin{aligned} u_d = R_si_d+p\psi_d-\omega_r\psi_q \\ u_q = R_si_q + p\psi_q +\omega_r\psi_d \end{aligned} \right. \tag{2.5} {ud​=Rs​id​+pψd​−ωr​ψq​uq​=Rs​iq​+pψq​+ωr​ψd​​(2.5)

式中：

u d 、 u q 、 i d 、 i q 、 ψ d 、 ψ q u_d、u_q、i_d、i_q、\psi_d、\psi_q ud​、uq​、id​、iq​、ψd​、ψq​——分别表示定子d軸和q軸的電壓、電流、磁通；

p p p——為微分算子，表示對時間的微分；

ω r \omega_r ωr​——轉子的電角速度。

推導過程如下：

根據 ( 1.3 ) (1.3) (1.3)節中給出的兩相旋轉坐标系到三相靜止坐标系中的變換公式，取A相單獨分析，可以得到：

(2.6) { u a = K ( u d c o s θ − u q s i n θ ) i a = K ( i d c o s θ − i q s i n θ ) ψ a = K ( ψ d c o s θ − ψ q s i n θ ) \left\{ \begin{aligned} & u_a = K(u_dcos\theta - u_qsin\theta) \\ & i_a = K(i_dcos\theta - i_qsin\theta) \\ & \psi_a = K(\psi_dcos\theta - \psi_qsin\theta) \end{aligned} \right. \tag{2.6} ⎩⎪⎨⎪⎧​​ua​=K(ud​cosθ−uq​sinθ)ia​=K(id​cosθ−iq​sinθ)ψa​=K(ψd​cosθ−ψq​sinθ)​(2.6)

由 2.1 2.1 2.1節可知，在三相靜止坐标系下的A相電壓方程為：

(2.7) u a = i a R s + p ψ a u_a = i_aR_s + p\psi_a \tag{2.7} ua​=ia​Rs​+pψa​(2.7)

将式 ( 2.6 ) (2.6) (2.6)中的表達式代入式 ( 2.7 ) (2.7) (2.7)中，整理後可得：

(2.8) ( u d − R s i d − p ψ d + ψ q p θ ) c o s θ − ( u q − R s i q − p ψ q − ψ d p θ ) s i n θ = 0 (u_d - R_si_d-p\psi_d+\psi_qp\theta)cos\theta - (u_q-R_si_q - p \psi_q - \psi_dp\theta)sin\theta = 0 \tag{2.8} (ud​−Rs​id​−pψd​+ψq​pθ)cosθ−(uq​−Rs​iq​−pψq​−ψd​pθ)sinθ=0(2.8)

位置角度 θ \theta θ的微分便是旋轉角速度，即：

(2.9) p θ = ω r p\theta = \omega_r \tag{2.9} pθ=ωr​(2.9)

對于式 ( 2.8 ) (2.8) (2.8)來說，由于位置角度 θ \theta θ為任意值，是以下列兩個式子分别成立：

{ u d = R s i d + p ψ d − ω r ψ q u q = R s i q + p ψ q + ω r ψ d \left\{ \begin{aligned} u_d = R_si_d+p\psi_d-\omega_r\psi_q \\ u_q = R_si_q + p\psi_q +\omega_r\psi_d \end{aligned} \right. {ud​=Rs​id​+pψd​−ωr​ψq​uq​=Rs​iq​+pψq​+ωr​ψd​​

推導完畢。

磁鍊方程為：

{ ψ d = L d i d + ψ f ψ q = L q i q \left\{ \begin{aligned} &\psi_d = L_di_d+\psi_f \\ &\psi_q= L_qi_q \end{aligned} \right. {​ψd​=Ld​id​+ψf​ψq​=Lq​iq​​

轉矩方程為：

T e = K p n [ ψ f i q + ( L d − L q ) i d i q ] T_e = Kp_n[\psi_fi_q + (L_d-L_q)i_di_q] Te​=Kpn​[ψf​iq​+(Ld​−Lq​)id​iq​]

當 K = 3 2 K=\frac 32 K=23​,則為恒幅值變換；當 K = 1 K=1 K=1,則為恒功率變換。

在三相坐标系下的複雜的電感耦合關系，在DQ坐标系下不複存在。但 L d L_d Ld​和 L q L_q Lq​與三相坐标系下的各種電感關系還沒有理清楚。