一般的硬體電路都不支援複數運算，一般的方法是把實部，虛部分别方在不同的存儲區域，運算的時候分别按照實虛部運算！對此，複數隻是再學習過程中的一個概念，我們可以在做理論（比如在紙上推導公式）的時候使用，到了實際的應用（在硬體電路裡程式設計實作我們前面推導的理論）必須把一個複數換成兩個實數，分别按照實數的運算法則運算，隻是要時刻記住哪個結果是實部，哪個是虛部。現實中存在的信号都是實信号，但是為了在信号進行中分析友善，就會将信号變為相應的複信号，有利于提取信号的幅值與瞬時頻率。
信号引入複數是幅值和相位的表示，當計算時需要将兩部分分開計算 。
希爾伯特變換是使用信号複數的特點，調制後可以将負頻域信号消除，即單邊帶調制，這樣有利于提升頻帶的使用率。
原始信号和h(t)做卷積的傳遞函數為
其傅裡葉變換為
其中sgn(w)為符号函數
對原始信号做1到4次Hilbert變換的頻譜示意圖如圖所示，希爾伯特變換的作用上是一個90移相器，它将信号中的正頻率部分相移-90°，相當于順時針轉90°；将信号中的負頻率部分相移90°，相當于逆時針轉90°。希爾伯特變換不會改變實信号x(t)的振幅和能量，僅僅在相位上發生了改變分而已。
為了解決濾波法對單邊帶調制的問題，即邊帶濾波器的制作不具有陡峭的截止特性，有一定的過渡帶。但是這個問題可借助希爾伯特變換對信号進行調制來解決。
有些在調制時不用單邊帶調制，發送時用雙邊帶信号，為了接收時不用濾波器，使用相幹解調方法。
假設調制信号為
其中ω0需要大于a(t)的最高頻率，否則會導緻原信号的失真。調制信号的解析信号表達式為
解析信号隻有正頻率，消除了負頻率，解析信号再乘以一個信号就能得到原信号
其頻域的變化大概是這樣的，原低頻信号a(t)的頻譜為
其調制之後的調制信号f(t)=a(t)cosω0t的頻譜為
接收者接收到以上信号f(t)并取其解析信号z(t)，其頻譜為：
再将解析信号z(t)乘以e^-jω0t得到原信号a(t)：
參考：https://blog.csdn.net/edogawachia/article/details/79366444
https://www.bilibili.com/read/cv2793412/