【微積分】函數的極限

函數極限的定義

下面是最經典的一種情形
           

lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A ⇔ ( ϵ − δ   L a n g u a g e )    ∀   ϵ > 0 ， ∃   δ > 0 , s t   0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ \lim_{x \to x_0}f(x) = A \Leftrightarrow (\epsilon-\delta \ Language) \ \ \forall \ \epsilon>0，\exists \ \delta> 0, st \ 0 < \left| x-x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f(x)-A \right|< \epsilon x→x0​lim​f(x)=A⇔(ϵ−δ Language)  ∀ ϵ>0，∃ δ>0,st 0<∣x−x0​∣<δ⇒∣f(x)−A∣<ϵ

其他情形根據下面自行組合
           

1. 按照極限值來分

極限為 A    ( A ∈ R )   ： A\ \ (A \in \R)\ ： A  (A∈R) ：

     lim ⁡ x → ∙ f ( x ) = A ⇔   ∀   ϵ > 0 , ∃   . . .   , s t   . . . ⇒ ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ \ \ \ \ \lim_{x \to \bullet }f(x) = A \Leftrightarrow \ \forall \ \epsilon>0,\exists\ ... \ , st \ ... \Rightarrow \left| f(x)-A \right|< \epsilon     x→∙lim​f(x)=A⇔ ∀ ϵ>0,∃ ... ,st ...⇒∣f(x)−A∣<ϵ

極限為 ∞   : \infin \ : ∞ :

lim ⁡ x → ∙ f ( x ) = ∞ ⇔   ∀   M > 0 , ∃   . . .   , s t   . . . ⇒ ∣ f ( x ) ∣ > M \lim_{x \to \bullet }f(x) = \infin \Leftrightarrow \ \forall \ M>0,\exists\ ... \ , st \ ... \Rightarrow \left| f(x) \right|> M x→∙lim​f(x)=∞⇔ ∀ M>0,∃ ... ,st ...⇒∣f(x)∣>M

極限為 − ∞   : -\infin \ : −∞ :

lim ⁡ x → ∙ f ( x ) = − ∞ ⇔   ∀   M > 0 , ∃   . . .   , s t   . . . ⇒ f ( x ) < − M \lim_{x \to \bullet }f(x) = -\infin \Leftrightarrow \ \forall \ M>0,\exists\ ... \ , st \ ... \Rightarrow f(x)< -M x→∙lim​f(x)=−∞⇔ ∀ M>0,∃ ... ,st ...⇒f(x)<−M

極限為 + ∞   : +\infin \ : +∞ : lim ⁡ x → ∙ f ( x ) = + ∞ ⇔   ∀   M > 0 , ∃   . . .   , s t   . . . ⇒ f ( x ) > M \lim_{x \to \bullet }f(x) = +\infin \Leftrightarrow \ \forall \ M>0,\exists\ ... \ , st \ ... \Rightarrow f(x)> M x→∙lim​f(x)=+∞⇔ ∀ M>0,∃ ... ,st ...⇒f(x)>M

2. 按照趨向來分

• x → x 0    ( x 0 ∈ R )   ： ∃   δ > 0 ,   0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ x \to x_0\ \ ( x_0 \in \R)\ ：\exist \ \delta>0,\ 0 < \left| x-x_0 \right| <\delta x→x0​  (x0​∈R) ：∃ δ>0, 0<∣x−x0​∣<δ
• x → x 0 −    ( x 0 ∈ R )   ： ∃   δ > 0 ,   x 0 − δ < x < x 0 x \to x_0^-\ \ ( x_0 \in \R)\ ：\exist \ \delta>0,\ x_0-\delta < x <x_0 x→x0−​  (x0​∈R) ：∃ δ>0, x0​−δ<x<x0​
• x → x 0 +    ( x 0 ∈ R )   ： ∃   δ > 0 ,   x 0 < x < x 0 + δ x \to x_0^+ \ \ ( x_0 \in \R)\ ：\exist \ \delta>0,\ x_0< x <x_0 + \delta x→x0+​  (x0​∈R) ：∃ δ>0, x0​<x<x0​+δ
• x → ∞ : ∃   X > 0 ,   ∣ x ∣ > X x \to \infin: \exists \ X>0,\ \left| x \right| > X x→∞:∃ X>0, ∣x∣>X
• x → − ∞ : ∃   X > 0 ,   x < − X x \to -\infin: \exists \ X>0,\ x < -X x→−∞:∃ X>0, x<−X

• x → + ∞ : ∃   X > 0 ,   x > X x \to +\infin: \exists \ X>0,\ x > X x→+∞:∃ X>0, x>X

  實際上，所謂 “趨向”應該是由任取xxx，存在xxx，這一套謂詞邏輯組合起來的，此處隻是為了友善記憶，友善填寫。

使用定義證明函數極限的經典技術

1. 利用 極限存在 等價于 左右極限相等。往往用于讨論分段函數的分段點

 2. 利用所給條件，結合一些構造，利用全稱量詞和存在量詞。具體方法和例題見下。	  
           

1. 已知兩個極限，得 X 1 X_1 X1​和 X 2 X_2 X2​ ，取 X = f ( X 1 , X 2 ) X = f(X_1,X_2) X=f(X1​,X2​) 證明存在滿足條件的 X X X。

1. 已知兩個極限 A A A和 B B B，要證明某極限不存在時，我們構造一個特殊的 ϵ = f ( A , B ) \epsilon = f(A,B) ϵ=f(A,B)，使其和該極限存在之間沖突，這樣便證明不存在（因為極限的定義中要求 ∀ ϵ \forall \epsilon ∀ϵ ）。極限唯一性的證明就是一個很好的例子。

   

函數極限的性質

若在某個趨向下， f ( x ) f(x) f(x) 的極限存在，則

• 唯一性：極限值必唯一
• 局部有界性：保證在某去心鄰域内， f ( x ) f(x) f(x) 有界
• 局部保号性：保證在某去心鄰域内， f ( x ) f(x) f(x) 的符号與極限值的符号一緻

函數極限的計算（重點）

1. 七種未定型的轉化

   全部往0/0型或∞/∞型上轉化，轉化方法如下
   
   1. 0·∞型：直接将簡單部分下放到分母
   2. ∞-∞型：若為兩分式相減，直接通分後合并；若沒有分母，則取倒代換創造分母
   3. 0^∞型、∞^0型、1^∞型：轉化成以e為底的形式，極限符号直接提到指數部分上。
   *對于1^∞型，若原極限的底數複雜，利用以下等價無窮小進行簡化：
   					 ln(u) ~ u-1 (u->1)
              

2. 常用工具

   洛必達法則（慎用）、等價無窮小替換、泰勒公式、夾逼準則
              

3. 計算要領

   1. 某乘積項的極限值為常數，立即将常數從極限運算中提出來。