【微积分】函数的极限

函数极限的定义

下面是最经典的一种情形
           

lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A ⇔ ( ϵ − δ   L a n g u a g e )    ∀   ϵ > 0 ， ∃   δ > 0 , s t   0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ ⇒ ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ \lim_{x \to x_0}f(x) = A \Leftrightarrow (\epsilon-\delta \ Language) \ \ \forall \ \epsilon>0，\exists \ \delta> 0, st \ 0 < \left| x-x_0 \right| < \delta \Rightarrow \left| f(x)-A \right|< \epsilon x→x0​lim​f(x)=A⇔(ϵ−δ Language)  ∀ ϵ>0，∃ δ>0,st 0<∣x−x0​∣<δ⇒∣f(x)−A∣<ϵ

其他情形根据下面自行组合
           

1. 按照极限值来分

极限为 A    ( A ∈ R )   ： A\ \ (A \in \R)\ ： A  (A∈R) ：

     lim ⁡ x → ∙ f ( x ) = A ⇔   ∀   ϵ > 0 , ∃   . . .   , s t   . . . ⇒ ∣ f ( x ) − A ∣ < ϵ \ \ \ \ \lim_{x \to \bullet }f(x) = A \Leftrightarrow \ \forall \ \epsilon>0,\exists\ ... \ , st \ ... \Rightarrow \left| f(x)-A \right|< \epsilon     x→∙lim​f(x)=A⇔ ∀ ϵ>0,∃ ... ,st ...⇒∣f(x)−A∣<ϵ

极限为 ∞   : \infin \ : ∞ :

lim ⁡ x → ∙ f ( x ) = ∞ ⇔   ∀   M > 0 , ∃   . . .   , s t   . . . ⇒ ∣ f ( x ) ∣ > M \lim_{x \to \bullet }f(x) = \infin \Leftrightarrow \ \forall \ M>0,\exists\ ... \ , st \ ... \Rightarrow \left| f(x) \right|> M x→∙lim​f(x)=∞⇔ ∀ M>0,∃ ... ,st ...⇒∣f(x)∣>M

极限为 − ∞   : -\infin \ : −∞ :

lim ⁡ x → ∙ f ( x ) = − ∞ ⇔   ∀   M > 0 , ∃   . . .   , s t   . . . ⇒ f ( x ) < − M \lim_{x \to \bullet }f(x) = -\infin \Leftrightarrow \ \forall \ M>0,\exists\ ... \ , st \ ... \Rightarrow f(x)< -M x→∙lim​f(x)=−∞⇔ ∀ M>0,∃ ... ,st ...⇒f(x)<−M

极限为 + ∞   : +\infin \ : +∞ : lim ⁡ x → ∙ f ( x ) = + ∞ ⇔   ∀   M > 0 , ∃   . . .   , s t   . . . ⇒ f ( x ) > M \lim_{x \to \bullet }f(x) = +\infin \Leftrightarrow \ \forall \ M>0,\exists\ ... \ , st \ ... \Rightarrow f(x)> M x→∙lim​f(x)=+∞⇔ ∀ M>0,∃ ... ,st ...⇒f(x)>M

2. 按照趋向来分

• x → x 0    ( x 0 ∈ R )   ： ∃   δ > 0 ,   0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ x \to x_0\ \ ( x_0 \in \R)\ ：\exist \ \delta>0,\ 0 < \left| x-x_0 \right| <\delta x→x0​  (x0​∈R) ：∃ δ>0, 0<∣x−x0​∣<δ
• x → x 0 −    ( x 0 ∈ R )   ： ∃   δ > 0 ,   x 0 − δ < x < x 0 x \to x_0^-\ \ ( x_0 \in \R)\ ：\exist \ \delta>0,\ x_0-\delta < x <x_0 x→x0−​  (x0​∈R) ：∃ δ>0, x0​−δ<x<x0​
• x → x 0 +    ( x 0 ∈ R )   ： ∃   δ > 0 ,   x 0 < x < x 0 + δ x \to x_0^+ \ \ ( x_0 \in \R)\ ：\exist \ \delta>0,\ x_0< x <x_0 + \delta x→x0+​  (x0​∈R) ：∃ δ>0, x0​<x<x0​+δ
• x → ∞ : ∃   X > 0 ,   ∣ x ∣ > X x \to \infin: \exists \ X>0,\ \left| x \right| > X x→∞:∃ X>0, ∣x∣>X
• x → − ∞ : ∃   X > 0 ,   x < − X x \to -\infin: \exists \ X>0,\ x < -X x→−∞:∃ X>0, x<−X

• x → + ∞ : ∃   X > 0 ,   x > X x \to +\infin: \exists \ X>0,\ x > X x→+∞:∃ X>0, x>X

  实际上，所谓 “趋向”应该是由任取xxx，存在xxx，这一套谓词逻辑组合起来的，此处只是为了方便记忆，方便填写。

使用定义证明函数极限的经典技术

1. 利用 极限存在 等价于 左右极限相等。往往用于讨论分段函数的分段点

 2. 利用所给条件，结合一些构造，利用全称量词和存在量词。具体方法和例题见下。	  
           

1. 已知两个极限，得 X 1 X_1 X1​和 X 2 X_2 X2​ ，取 X = f ( X 1 , X 2 ) X = f(X_1,X_2) X=f(X1​,X2​) 证明存在满足条件的 X X X。

1. 已知两个极限 A A A和 B B B，要证明某极限不存在时，我们构造一个特殊的 ϵ = f ( A , B ) \epsilon = f(A,B) ϵ=f(A,B)，使其和该极限存在之间矛盾，这样便证明不存在（因为极限的定义中要求 ∀ ϵ \forall \epsilon ∀ϵ ）。极限唯一性的证明就是一个很好的例子。

   

函数极限的性质

若在某个趋向下， f ( x ) f(x) f(x) 的极限存在，则

• 唯一性：极限值必唯一
• 局部有界性：保证在某去心邻域内， f ( x ) f(x) f(x) 有界
• 局部保号性：保证在某去心邻域内， f ( x ) f(x) f(x) 的符号与极限值的符号一致

函数极限的计算（重点）

1. 七种未定型的转化

   全部往0/0型或∞/∞型上转化，转化方法如下
   
   1. 0·∞型：直接将简单部分下放到分母
   2. ∞-∞型：若为两分式相减，直接通分后合并；若没有分母，则取倒代换创造分母
   3. 0^∞型、∞^0型、1^∞型：转化成以e为底的形式，极限符号直接提到指数部分上。
   *对于1^∞型，若原极限的底数复杂，利用以下等价无穷小进行简化：
   					 ln(u) ~ u-1 (u->1)
              

2. 常用工具

   洛必达法则（慎用）、等价无穷小替换、泰勒公式、夹逼准则
              

3. 计算要领

   1. 某乘积项的极限值为常数，立即将常数从极限运算中提出来。