【數字信号處理】相關函數 ( 周期信号 | 周期信号的自相關函數 )

文章目錄

• ​​一、周期信号​​
• ​​二、周期信号的自相關函數​​

一、周期信号

信号 根據 " 周期性 " 進行分類 , 可以分為 " 周期信号 " 和 " 非周期信号 " ;

• 周期信号 : 信号 有周期規律 , 如 : 正弦波信号 ;
• 非周期信号 : 信号 沒有周期規律 , 如 : 噪聲信号 ;

二、周期信号的自相關函數

x

(

n

)

x(n)

x(n) 是 " 周期信号 " , 周期為

N

N

N , 則

x

(

n

)

x(n)

x(n) 的自相關函數是 :

r

x

(

m

)

=

lim

⁡

N

→

∞

1

N

∑

n

=

N

−

1

x

∗

(

n

)

x

(

n

+

m

)

=

lim

⁡

N

→

∞

1

N

∑

n

=

N

−

1

x

∗

(

n

)

x

(

n

+

m

+

N

)

=

r

x

(

m

+

N

)

\begin{array}{lcl} r_x(m) & = & \lim\limits_{N \rightarrow \infty}\cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x^*(n)x(n+m) \\\\\\ & = & \lim\limits_{N \rightarrow \infty}\cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x^*(n)x(n+m + N) \\\\\\ \color{OliveGreen} & = & r_x(m + N) \end{array}

rx(m)===N→∞limN1∑n=0N−1x∗(n)x(n+m)N→∞limN1∑n=0N−1x∗(n)x(n+m+N)rx(m+N)

根據上述式子推導 , 周期信号的 " 自相關函數 " 具有 周期性 , 并且該 " 自相關函數 " 周期也是

N

N

N ;

周期函數 能量 , 無限個周期 求和取平均 , 與 一個周期 求和取平均 的值是相等的 ;

是以 , " 周期信号 " 的 " 自先關函數 " , 也可以使用如下表示 :

r

x

(

m

)

=

1

N

∑

n

=

N

−

1

x

∗

(

n

)

x

(

n

+

m

)

r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x^*(n)x(n+m)

rx(m)=N1n=0∑N−1x∗(n)x(n+m)