【數字信号處理】相關函數 ( 有限信号 | 有限信号的自相關函數 )

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• ​​一、有限信号的自相關函數​​

一、有限信号的自相關函數

對于 " 有限信号 "

x

(

n

)

x(n)

x(n) ,

n

n

n 的取值範圍是

[

,

N

−

1

]

[0, N-1]

[0,N−1] 閉區間 ;

則 有限信号

x

(

n

)

x(n)

x(n) 的 自相關函數 是 :

r

x

(

m

)

=

1

N

∑

n

=

N

−

1

−

m

x

∗

(

n

)

x

(

n

+

m

)

r_x(m) = \cfrac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1-m}x^*(n)x(n+m)

rx(m)=N1n=0∑N−1−mx∗(n)x(n+m)

∑

n

=

N

−

1

−

m

x

∗

(

n

)

x

(

n

+

m

)

\sum_{n = 0}^{N-1-m}x^*(n)x(n+m)

∑n=0N−1−mx∗(n)x(n+m) 除以

N

N

N 相當于在

m

m

m 為

0 時 , 該自相關函數的值就是 信号功率 ;

r

x

(

)

=

信

号

功

率

r_x(0) = 信号功率

rx(0)=信号功率

求 均值 或 方差 , 都需要與

N

N

N 相除 ,

N

N

N 是時間 , 也就是有限信号的個數 , 這裡就是 對 時間 求平均 ;

有限信号 是 能量信号 , " 自相關函數 " 的 " 傅裡葉變換 " 是 " 功率譜密度函數 " ,

有限信号 的 時間

n

n

n 的取值範圍 是

[

,

N

−

1

]

[0, N-1]

[0,N−1] 閉區間 , 但是公式中的 加和式 是

∑

n

=

N

−

1

−

m

\sum_{n = 0}^{N-1-m}

n=0∑N−1−m

不是

∑

n

=

N

−

1

\sum_{n = 0}^{N-1}

n=0∑N−1

是因為求的是

x

(

n

)

x(n)

x(n) 與

x

(

n

+

m

)

x(n+m)

x(n+m) 的相關函數 ;

如果 信号的 移位

m

m

m , 超出了

n

n

n 的取值範圍

[

,

N

−

1

]

[0, N-1]

[0,N−1] 閉區間 , 該信号就不是原來的信号 , 自相關函數就沒有任何意義了 ;