一、雙樹複小波變換簡介
1999年， Kingsbury提出了雙樹複小波變換。随後， 2005年， Seles nick等設計出了雙樹複小波變換的分解重構算法，這一算法的提出，使得雙樹複小波變換能夠應用于信号分析和圖像處理等領域。與小波變換不同，雙樹複小波變換具有近似位移不變性、資料備援有限及方向選擇性良好等特點，可以反映圖像在六個方向上的分辨率變化。圖2.4展示了多貝西小波和複數小波的分解示意圖。
圖2.4多貝西小波與複數小波分解示意圖
可以看出，多貝西小波隻有一個次元的分解。複數小波則有實部和虛部兩個次元。雙樹複小波變換每個次元使用兩棵樹，每個樹都有短的低通濾波器和高通濾波器，以合成單個線性相位複合低通、高通濾波器對。兩棵樹中的過濾器正好是時間相反的。圖2.5為一維雙樹複小波變換過程：
圖中樹A、樹Ｂ分别表示複數小波變換的實部和虛部，部和虛部，↓2代表隔點采樣，h(x)和h(x)分别表示樹A的低通濾波器和高通濾波器，其對應的尺度函數及小波函數分别為：
g.(x)和gi(x)則分别表示樹B的低通濾波器和高通濾波器，其對應的尺度函數及小波函數分别為：
那麼，一維的雙樹複小波可以由下式表示：
e(t) =c， (t) +i eg(t) ·(2.3)
二維的雙樹複小波變換需要用到二維小波。對圖像進行分解時，雙樹複小波變換先沿着行方向分解，再對得到的結果進行列方向的分解，最終得到一個低頻子帶和六個代表不同方向的高頻子帶，這六個方向分别為：±15°，±45°，±75°。之後，得到的低頻子帶依然可以進行再分解。是以，若圖像經過K次雙樹複小波變換分解後，将有6K+1個不同的子帶，分别為6K個高頻子帶和一個低頻子帶。
圖2.6圖像的二層DT CWT分解示意圖
二、部分源代碼
clear all; close all; home;
% User selection (1,2,3,…)
J = 6; % number of decomposition levels used in the fusion[Faf,Fsf] = FSfarras; % first stage filters
[af,sf] = dualfilt1; % second stage filters% images to be fused
im1 = double(imread(‘saras91.jpg’));
im2 = double(imread(‘saras92.jpg’));
figure; subplot(121);imshow(im1,[]); subplot(122); imshow(im2,[]);% image decomposition
w1 = cplxdual2D(im1,J,Faf,af);
w2 = cplxdual2D(im2,J,Faf,af);% Image fusion process start here
for j=1:J % number of stages
for p=1:2 %1:real part & 2: imaginary part
for d1=1:2 % orientations
for d2=1:3
x = w1{j}{p}{d1}{d2};
y = w2{j}{p}{d1}{d2};
D = (abs(x)-abs(y)) >= 0;
wf{j}{p}{d1}{d2} = D.*x + (~D).y; % image fusion
end
end
end
end
for m=1:2 % lowpass subbands
for n=1:2
wf{J+1}{m}{n} = 0.5(w1{J+1}{m}{n}+w2{J+1}{m}{n}); % fusion of lopass subbands
end
end% fused image
imf = icplxdual2D(wf,J,Fsf,sf);
figure; imshow(imf,[]);
function [af, sf] = dualfilt1% Kingsbury Q-filters for the dual-tree complex DWT
%
% USAGE:
% [af, sf] = dualfilt1
% OUTPUT:
% af{i}, i = 1,2 - analysis filters for tree i
% sf{i}, i = 1,2 - synthesis filters for tree i
% note: af{2} is the reverse of af{1}
% REFERENCE:
% N. G. Kingsbury, “A dual-tree complex wavelet
% transform with improved orthogonality and symmetry
% properties”, Proceedings of the IEEE Int. Conf. on
% Image Proc. (ICIP), 2000
% See dualtree
%
% WAVELET SOFTWARE AT POLYTECHNIC UNIVERSITY, BROOKLYN, NY
% http://taco.poly.edu/WaveletSoftware/% These cofficients are rounded to 8 decimal places.
af{1} = [
0.03516384000000 0
0 0
-0.08832942000000 -0.11430184000000
0.23389032000000 0
0.76027237000000 0.58751830000000
0.58751830000000 -0.76027237000000
0 0.23389032000000
-0.11430184000000 0.08832942000000
0 0
0 -0.03516384000000
];af{2} = [
0 -0.03516384000000
0 0
-0.11430184000000 0.08832942000000
0 0.23389032000000
0.58751830000000 -0.76027237000000
0.76027237000000 0.58751830000000
0.23389032000000 0
-0.08832942000000 -0.11430184000000
0 0
0.03516384000000 0
];sf{1} = af{1}(end👎1, 😃;
sf{2} = af{2}(end👎1, 😃; 三、運作結果
四、matlab版本及參考文獻
1 matlab版本
2014a