定點除法運算

計算機中，除法運算和乘法運算一樣，是非常常用的一種運算。同樣，除法運算在計算機中的實作也分為符号部分和數值部分兩部分。

（1）符号位。符号位的确定和乘法運算的規則一緻，除法運算的符号位無法通過轉換補碼，加入到除法運算中，必須單獨進行處理。根據除法運算的規則：被除數和除數之間，符号位相同則為正，符号位不同則為負。設被除數和除數分别為X和Y，Xf和Yf分别代表X和Y的符号位，除法運算結果為Z，Zf代表Z的符号位。如下表所示。

除法運算符号位結果真值表

Xf	Yf	Zf
1	1
1	1
1	1

根據真值表，可得除法運算符号位的邏輯表達式為：

Zf=Xf異或Yf

（2）恢複餘數法實作數值部分除法。數值部分除法在計算機中的實作也是從除法運算的筆算演變過來的。我們不考慮符号位，以兩個正數的除法為例，做出一個除法運算筆算例子的完整過程。

【例】設二進制小數X=0.1001，Y=0.1101，計算X/Y

X/Y的豎式如下：

                                     0.  1  0  1  1

0.1101          /  __________________

                    0.  1  0  0  1  0

                    0.  0  1  1  0  1

—————————————————

                    0.  0  0  1  0  1  0  0

                    0.  0  0  0  1  1  0  1

—————————————————

                    0.  0  0  0  0  1  1  1  0

                    0.  0  0  0  0  1  1  0  1

—————————————————

                    0.  0  0  0  0  0  0  0  1

結果為：X/Y的商為0.1011，餘數為0.00000001

計算機中的定點數的除法運算，商的位數一般與被除數和除數的位數相等。觀察運算過程發現，除法運算筆算每次都上商，都是通過心算比較餘數和除數的大小關系，如果餘數大于除數，上1，然後做減法得出新的餘數，新的餘數低位補0；如果餘數小于除數，則上0，餘數低位補0得出新的餘數。

是以，除法運算的筆算每次上商是1還是0，關鍵是看餘數和除數之間的大小關系比較。筆算中我們都是通過心算進行大小比較，但是，機器沒有所謂“心算”，隻能在餘數和除數之間做減法操作，檢視結果正負來判斷大小關系。如果餘數減去除數的結果為正，說明應該上商為1，而将減法的結果低位補0，就得到新的餘數；而如果餘數減去除數的結果為負，說明應該上商0，減法的結果無意義，恢複餘數法的做法是，将減法結果加上除數，還原減法操作前的餘數，然後再将餘數低位補0，得到新的餘數。

從上面除法運算筆算 例子的豎式中可以看出，餘數和除數之間的減法操作，在計算機中實際上使用的是加法器，将減法轉換為補碼加運算的方法實作的。設餘數為A，除數為B，則：

[A-B]補=[A+(-B)]補=[A]補+[-B]補

觀察筆算除法豎式發現，每次上商後，除數都需要右移一位來與新的餘數對齊，機器字長為5的除法運算需要加法器的位數至少為9,。計算機中，我們可以對筆算算法稍作改變，除數右移一位的操作可以用餘數左移一位來代替。這樣就不需要在餘數和新除數前加連續的0.但左移後的餘數已經不是真正的餘數，隻有再将餘數重新右移才能得到真正的餘數。

筆算求商時，商的結果是從高位到低位逐位算出來的。在計算機的實作中，計算出每一位的商以後，并不是直接把結果寫到寄存器相應的位中，而是從高位開始，将每一位的商寫到寄存器的最低位，然後左移一位，等待下一位商寫到寄存器的最低位，再左移，再求下一位商……如此循環直到最低位寫到寄存器中。

此外，定點小數的除法，如果被除數的絕對值大于或等于除數的絕對值，那麼很明顯，除法結果的絕對值會大于或等于1，即商成為一個非純小數。無法再用定點小數表示。并且，除法運算應該避免被除數和除數為0.是以，設被除數為X，除數為Y，X*和Y*分别為X和Y的絕對值。定點小數的除法必須滿足下面的條件：

0<|被除數|<|除數|

【例】設二進制純小數X=-0.1001，Y=0.1101，請使用恢複餘數法，計算并列出執行X/Y的操作過程。

求X和Y的原碼，得

[X]原=1.1001，[Y]原=0.1101

首先判斷符号位：

Zf=Xf異或Yf=1異或0=1

求x和y的絕對值，得

X*=0.1001,Y*=0.1101

求X*和Y*的原碼，得

[X*]原=0.1001,[Y*]原=0.1101

求X*、Y*和-Y*的補碼，得

[X*]補=0.1001，[Y*]補=0.1101，[-Y*]補=1.0011

餘數恢複法執行過程如下：

①餘數R=X*.商為0.0000.

②[R]補=[R-Y*]補=[R]補+[-Y*]補=0.1001+1.0011=1.1100，結果為負數。

③商的末尾置0，為0.0000，左移一位，還是0.0000；餘數還原：[R]補+[Y*]補=1.1100+0.1101=0.1001；餘數左移一位，末位補0，得[R]補=1.0010.

④[R]補=[R-Y*]補=[R]補+[-Y*]補=1.0010+1.0011=0.0101，結果為正數。

⑤商的末位置1，為0.0001，左移一位，得商為0.0010；餘數左移一位，末位補零，得[R]補=0.1010

⑥[R]補=[R-Y*]補=[R]補+[-Y*]補=0.1010+1.0011=1.1101，結果為負數。

⑦商的末尾置0，為0.0010，左移一位，得商為0.0100；餘數還原：[R]補=[R]補+[Y*]補=1.1101+0.1101=0.1010；餘數左移一位，末位補零，得[R]補=1.0100

⑧[R]補=[R-Y*]補=[R]補+[-Y*]補=1.0100+1.0011=0.0111,結果為正數。

⑨商的末尾置1，為0.0101，左移一位，得商為0.1010；餘數左移一位，末尾補零，得[R]補=0.1110

⑩[R]補=[R-Y*]補=[R]補+[-Y*]補=0.1110+1.0011=0.0001，結果為正數。

①①商的末位置1，為0.1011.

數值運算結果和符号結果結合，得[X/Y]原=1.1011

總結：首先根據計算位數設商為0.0000（本題的小數點後的精度為4，超出的均為溢出丢棄），然後根據[R]補=[R-Y*]補=[R]補+[-Y*]補的運算結果正負，來确定商的末尾置0還是置1（負數置0，正數置1），并且在每次計算後，計算結果都要左移一位，末尾補零，得到新的餘數，然後再用這個新的餘數進行計算（同樣的公式）。記得這一點差别，商的末位無論置0還是置1，也需要左移，但是在下一步進行置0或是置1是在未移動的結果上進行置0或置1（不能用移動後的商）。同時，如果餘數計算的結果為負，那就要恢複餘數，也就是用餘數再加上除數，然後再進行下面的操作。對于循環幾次，取決于除數的位數，本題中除數小數點位數為四位，是以要移動四次，得到最後的結果便是結果（這時無符号位），最後我們再加上一開始判斷的符号位便是最終結果。

（3）加減交替法實作數值部分除法。加減交替法也稱不恢複餘數法，是對恢複餘數法的一種改進算法。恢複算法每次用餘數減去除數，都是為了觀察餘數和除數的大小關系，如果減法結果為負數，說明餘數小于除數，那麼就必須将結果再加除數來還原餘數。反複的加減操作很大程度上影響了恢複餘數法的運算效率。

再次分析原碼恢複餘數法發現，餘數減去除數，設結果為r：

如果R>0，上商1，R 左移一位，低位補0，就得到新的餘數。下一步新的餘數再減除數，确定下一位商的結果。也就是說，如果R>0，确定下一位的商和r值的運算為：

R=2R-Y*

如果R<0，上商0，然後需要恢複餘數，即R+Y*，将R+Y*的結果再左移一位，低位補0，就得到新的餘數。下一步新的餘數再減去除數，确定下一位商的結果。也就是說，如果R<0，确定了下一位商和R值的運算為：

R=2(R+Y*)-Y*                即R=2R+Y*

如此一來，當每次餘數減除數的結果R為正或者負時，我們隻需要根據正負上商，并按照不同公式計算新R的值來确定下一位商即可。不需要在進行當R為負數時恢複餘數這樣繁瑣的操作了。

【例】設二進制純小數X=-0.1001，Y=0.1101，請使用加減交替法，計算并列出執行X/Y的操作過程。

求X和Y的原碼，得

[X]原=1.1001，[Y]原=0.1101

首先判斷符号位：

Zf=Xf異或Yf=1異或0=1

求X和Y的絕對值，得X*=0.1001，Y*=0.1101

求X*和Y*的原碼，得

[X*]原=0.1001，[Y*]原=0.1101

求X*、Y*、-Y*的補碼，得

[X*]補=0.1001，[Y*]補=0.1101，[-Y*]補=1.0011

加減交替法的執行過程如下：

①設餘數R=X*=0.1001，商為0.0000.

②[R]補=[R-Y*]補=[R]補+[-Y*]補=0.1001+1.0011=1.1100，結果為負數。

③商的末位置0，為0.0000，左移一位，還是0.0000

④[R]補=[2R+Y*]補=2[R]補+[Y*]補=1.1000+0.1101=0.0101，結果為正數。

⑤商的末位置1，為0.0001，左移一位，得商為0.0010。

⑥[R]補=[2R-Y*]補=2[R]補+[-Y*]補=0.1010+1.0011=1.1101，結果為負數。

⑦商的末位置0，為0.0010，左移一位，得商為0.0100.

⑧[R]補=[2R+Y*]補=[2R]補+[Y*]補=1.1010+0.1101=0.0111，結果為正數。

⑨商的末位置1，為0.101，左移一位，得商為0.1010.

⑩[R]補=[2R-Y*]補=[2R]補+[-Y*]補=0.1110+1.0011=0.0001,結果為正數。

①①商的末位置1，得商為0.1011

數值運算結果和符号結果結合，得[X/Y]原=1.1011

總結：加減交替法采用了公式計算，前面和不恢複餘數法一樣，計算符号位，設餘數為被除數，商為0，[R]補=[R-Y*]補=[R]補+[-Y*]補計算，而下面需要根據結果的正負來使用公式，如果結果為負數，則用R=2R+Y*計算出餘數，然後再進行判斷。如果結果為正數，則用R=2R-Y*計算，然後判斷正負。循環的次數和不恢複餘數法一樣，由除數決定。最後循環結束再結合符号位就是最終的結果。

浮點數的加減運算

浮點數與定點數相比，所表示的範圍更寬，有效精度更高，更加适合于科學計算。但浮點數的格式比定點數要複雜，硬體電路更複雜，實作的成本更高。一些微處理器自身不帶有浮點運算功能，但另外配有協處理器，專門用于浮點數的四則運算。

我們在前面讨論了浮點數在機器中的表示方法。階碼E采用補碼或移碼的方式表示；尾數F采用原碼或補碼方式表示。設有兩浮點數X和Y進行加減運算時，必須按以下幾步執行。

1.對階

使X和Y的小數點位置對齊。才可以進行加減操作。

由于階碼不同，X和Y的尾數的對應位所代表的權值是不同的。加減操作前，必須将X和Y的小數點位置對齊，也就是使X和Y的價碼相等。對階的原則是階碼小的數進行調整，打破浮點數規格化的要求，使兩個數的價碼相等。例如：

設二進制浮點數X=101.1和Y=1.011，如果要執行X+Y。首先看X和Y在計算機中用N=2^E*F的形式表示，使用規格化形式，為：

X=2^3  *  0.101100

Y=2^1  *  0.101100

X和Y的價碼分别為3和1，尾數不能直接相加。按照階碼小的數向階碼大的數對齊原則，調整後的Y的表示為：

Y=2^3  *  0.001011

2.尾數加減

将對階後的兩尾數按定點加減運算規則進行操作，尾數的加減運算一般使用變形補碼的加減運算方式來實作。

繼續上面的例子，X和Y對階完成後，尾數就可以進行加運算：

[0.101100]補`=00.101100

[0.001011]補`=00.001011

[0.101100+0.001011]補`=[0.101100]補+[0.001011]補`=00.101100+00.001011=00.110111

3.規格化

為增加有效數字的位數，提高運算精度，必須将求和（差）後的位數規格化。規格化又分為左規和右規兩種：

（1）左規。當尾數的變形補碼加減運算結果出現00.0***或11.1*****時，說明加減操作無溢出，并且，最高數值位表明，尾數不符合規格化要求，需左規。左規時尾數左移一位，階碼減一，直到符合補碼規格化表達式為止，即結果為00.1********或11.0****

（2）右規。當尾數出現01.********或10.**********時，表示尾數的變形補碼加減運算結果溢出。在這定點加減運算中是不允許的，但在浮點運算中這不算溢出，可通過右規處理後繼續使用。右規時尾數右移一位，階碼加一。

繼續上面的例子，執行完尾數加減操作後，X+Y的結果為：

Z=2^3*0.110111

結果符合規格化要求，是以X+Y的結果即為上式。用實數方式表示為：X+Y=(110.111)2進制

【例】兩浮點數X=2^+010   *  0.110100，Y=2^+100  *  (-0.101010),求X+Y

階碼取三位，尾數取6位（均不包括符号位），設階碼和尾數均采用補碼表示方式，機器表示的形式分别為：

[X]補=0010 0110100

[Y]補=0100 1010110

第一步，對階：先求階差（兩階碼的補碼相減），減去正數補碼0100就是加負數補碼1100，使用變形補碼方式執行：

00 010+11 100=11 110

結果的真值為-2，即X的階碼比Y的階碼小2.[X]補的階碼增大成0100，尾數右移兩位，即

[X]補=0100 0001101

第二步：尾數以變形補碼的形式相加：

00.001101+11.010110=11.100011

相加結果為：0100 1100011

第三步：規格化：

最高有效位與符号位相同，需要左規，尾數左移一位，階碼減1，結果為：

[X+Y]補=0011 1000110，即

X+Y=2^+011  *  (-0.111010)             【補碼的補碼即為原碼】

4.舍入

在對階和右規的過程中，可能會将尾數的低位丢失，引起誤差，影響了精度，為此可以用舍入法來提高尾數的精度。常用的舍入法有三種：截去法、“恒置1”法和“0舍1入”法。

截去法最簡單，不用考慮 右移操作導緻丢失的資料，直接丢棄。

“恒置1”法也不考慮右移操作導緻被丢掉的資料，而是直接将右移操作後的末尾恒置"1".從統計學角度看，“恒置1”法的平均誤差為0，與截去法相比，有更高的可能性使結果更加準确。

“0舍1入”法類似于十進制運算中的“四舍五入”法，即在尾數右移時，如果被移去的數值的最高位為0，則直接舍去；如果被移去的數值最高位為1，則在新尾數的末位加1.這種方法可以保證最大誤差是最低誤差上的-1/2到1/2之間，正誤差可以和負誤差抵消。是比較理想的方法，但實作起來比較複雜。并且有可能使尾數又溢出，如果溢出則再做一次右規。

【例】兩浮點數X=2^+10  *  0.1101,Y=2^+01  *  0.1011,求X+Y，舍入用“0舍1入法”。

階碼取三位，尾數取四位（均不包括符号位），設階碼和尾數均采用補碼表示方式，機器表示的形式分别為：

[X]補=0010 01101

[Y]補=0001 01011

第一步，對階，我們換一種方式，通過觀察，我們發現Y的階碼比X的階碼小1，是以把Y的階碼程式設計0010，需要尾數右移，即01011右移一位，為00101，題目要求用0舍1入法，我們舍去的為1，是以尾數要加1，是以最終的位數為00110.[Y]補=0010 00110

第二步，尾數以變形補碼形式相加

00.1101+00.0110=01.0011

第三步，規格化

因位數符号位為01，需要右規（尾數右移一位，階碼加1），右移後的位數結果為：01001.根據“0舍1入”法可知，尾數被移去一位，該位為1，是以尾數右移一位後末位要加1，即01010，得

[X+Y]補=0011 01010

浮點數的乘法和除法運算

按照數學運算公式，我們知道，兩個浮點數相乘，乘積的階碼等于兩個乘數的階碼之和，乘積的尾數等于兩個乘數的尾數的相乘；兩個浮點數相除，商的階碼等于被除數的階碼減去除數的階碼，商的尾數等于被除數的尾數除以除數的尾數。設浮點數X和Y分别為：

X=2^EX  *  Fx

Y=2^EX  *  Fy

則

X  *  Y=2^(EX+EY)  *  （Fx  *  Fy）

X  /  Y=2^(EX-EY)  *  （Fx/Fy）